Методические указания по выполнению практической работы

1. Повторите основные определения

2. Разберите примеры

3. Выполните задания

 

Определение 1. Уравнение, в котором в роли переменной выступает производная некоторой функции, называется дифференциальным уравнением.

Решение дифференциального уравнения – это задача обратная дифференцированию. Т.е. по данной функции f(x) находят ее первообразную (неопределенный интеграл). Искомую первообразную обозначим y, тогда указанную задачу можно записать в форме уравнения  или dy=f(x)dx. Решениями такого уравнения является y= . Т.е. дифференциальное уравнение имеет бесчисленное количество решений.

Решение с произвольной постоянной C называется общим решением. А каждое решение, которое получается из общего при конкретном значении C, называется частным.

Определение 2. Если дифференциальное уравнение можно представить в виде P(x)dx=Q(y)dy, то уравнение называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Пример 1. Решить уравнение x+yy´=0.

Решение. Представим y´ в виде , получим x+y =0,

разделяем переменные, получаем xdx+ydy=0,

находим общее решение: ,

                                          ,

                                          x²+y²=2C₁ ,

                                          x²+y²=C.

Ответ: x²+y²=C.

Пример 2. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

                              (x²-1)dy-2xydx=0, y(2)=4

Решение. (x²-1)dy-2xydx=0,

       (x²-1)dy=2xydx,

       .

Находим общее решение

       ,

       ln |y|=ln|x²-1|+ln|C|,

       y=C(x²-1).

Найдем частное решение, подставив начальные условия,

       4=C(2²-1), 4=C∙3, C= .

Значит, частное решение примет вид y= (x²-1).

Ответ: y= (x²-1).

 

Вопросы для самоконтроля:

1. Какое уравнение называется дифференциальным?
2. В чем состоит задача нахождения дифференциального уравнения?
3. Какое решение дифференциального уравнения называется общим?
4. Какое решение дифференциального уравнения называется частным?

Задания к практической работе

Вариант 1

Задание 1. Найдите общее решение уравнения.

1.

2.

3.

4.

Задание 2. Найдите частное решение уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию.

1.

2.

 

Вариант 2

Задание 1. Найдите общее решение уравнения.

1.

2.

3.

4.

Задание 2. Найдите частное решение уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию.

1.

2.

 

Вариант 3

Задание 1. Найдите общее решение уравнения.

5.

6.

7.

8.

Задание 2. Найдите частное решение уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию.

3.

4.

 

 

Вариант 4

Задание 1. Найдите общее решение уравнения.

9.

10.

11.

12.

Задание 2. Найдите частное решение уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию.

5.

6.

Вариант 5

Задание 1. Найдите общее решение уравнения.

1.

2.

3.

4.

Задание 2. Найдите частное решение уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию.

5.

6.

 

Вариант 6

Задание 1. Найдите общее решение уравнения.

1.

2.

3.

4.

Задание 2. Найдите частное решение уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию.

5.

6.

Вариант 7

Задание 1. Найдите общее решение уравнения.

1.

2.

3.

4.

Задание 2. Найдите частное решение уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию.

5.

6.

 

Вариант 8

Задание 1. Найдите общее решение уравнения.

1.

2.

3.

4.

Задание 2. Найдите частное решение уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию.

5.

6.

 

Вариант 9

Задание 1. Найдите общее решение уравнения.

1.

2.

3.

4.

Задание 2. Найдите частное решение уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию.

5.

6.

Вариант 10

Задание 1. Найдите общее решение уравнения.

1.

2.

3.

4.

Задание 2. Найдите частное решение уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию.

5.

6.

Вариант 11

Задание 1. Найдите общее решение уравнения.

1.

2.

3.

4.

Задание 2. Найдите частное решение уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию.

5.

6.

 

Вариант 12

Задание 1. Найдите общее решение уравнения.

1.

2.

3.

4.

Задание 2. Найдите частное решение уравнения с разделяющимися переменными, удовлетворяющее начальному условию.

5.

6.