Общий способ сравнения чисел

Число а больше числа b (а>b), если их разность (а - b) — положительное число; число а меньше числа b, если их разность (а - b) — отрицательное число.

Свойства числовых неравенств:

1. Если a>b, то b<а; если a<b, то b>a;

2. Если a<b и b<c, то a<b<c;

3. Если a<b и c∈R, то a+c<b+c;

4. Если а<b и с>0, то ас<bс; если а<b и с<0, то ac>bc;

5. Если a<b и c<d, то a+c<b+d;

6. Если a<b и c<d и а, b, с, d - положительные числа, то ac<bd.

Решение неравенства с одной переменной - это значение переменной, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство.

Решить неравенство с одной переменной означает найти все его решения или доказать, что решений нет.

Решение системы неравенств с одной переменной - это значение переменной, при котором верно каждое из неравенств системы.

Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Решения неравенств с одной переменной метод интервалов

Если неравенство имеет вид f(x)=(x−x1)(x−x2)⋅⋯⋅(x−xn)>0(<0), то в каждом из промежутков, на которые область определения разбивается точками x1x2,…,xn, знак функции сохраняется, а при переходе через каждую из точек x1,x2,…,xn ее знак меняется.

 

21) Двойное неравенство.

Неравенства, в которых встречаются два знака неравенства - двойные неравенства.

Решить двойное неравенство можно путём замены его системой неравенств. Затем система решается любым удобным способом.

 

Пример:

Решить двойное неравенство 24<3x<72.

1. Данное неравенство записываем в виде системы неравенств:

{24<3x3x<72

2. Из первого неравенства получаем x>8, из второго x<24.

3. Полученные промежутки отмечаем на прямой.

22) Пересечение и объединение двух множеств.

Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Пример:
Возьмем числа 12 и 18. Найдем их делители, обозначив все множество этих делителей соответственно буквами А и B:
А = {1, 2, 3, 4, 6, 12},
B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Мы видим, что у чисел 12 и 18 есть общие делители: 1, 2, 3, 6. Обозначим их буквой C:
C = {1, 2, 3, 6).

Множество C и является пересечением множеств А и B. Пишут это так:
А ∩ B = C.

Если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств является пустоемножество.
Пустое множество обозначают знаком Ø, а используют такую запись:

X ∩ Y = Ø.

 

Объединение двух множеств – это множество, состоящее из всех элементов этих множеств.

Для примера вернемся к числам 12 и 18 и множеству их элементов A и B. Выпишем сначала элементы множества А, затем добавим к ним те элементы множества B, которых нет во множестве А. Мы получим множество элементов, которым обладают А и B в совокупности. Обозначим его буквой D:

D = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 9, 18).

Множество D и является объединением множеств A и B. Пишется это так:

D = A U B.

23),24 Квадрат суммы

Квадрат суммы и квадрат разности. Правила

 

Докажем, что при любых значениях a и b верно равенство (a+b) 2=a 2+b 2+2ab или (a+b) 2=a 2+2ab+b 2. Доказательство. (a+b) 2=(a+b)(a+b)=a 2+ab+ab+b 2=a 2+b 2+2ab. Если в эту формулу вместо a и b подставить какие-нибудь выражения, то опять получится тождество. Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс удвоенное произведение первого и второго выражений.

Докажем, что при любых значениях a и b верно равенство (a−b) 2=a 2+b 2−2ab или (a−b) 2=a 2−2ab+b 2. Доказательство. (a−b) 2=(a−b)(a−b)=a 2−ab−ab+b 2=a 2+b 2−2ab. Квадрат разности двух выражений равен сумме квадратов этих выражений минус удвоенное произведение первого и второго выражений.

25)