Разложение колебания по системе ортогональных функций

Раздел 1.

Основные характеристики детерминированных сигналов.

Понятие колебания и сигнала. Классификация сигналов.

Колебанием s(t) называется любой процесс, который на бесконечном интервале времени не удовлетворяет условию s(t)=const.

У нас в основном электрические колебания. Если колебание s(t) содержит информацию о передаваемом сообщении или о состоянии какого-то объекта, то это колебание называется сигналом.

Помеха – это колебание, которое мешает приему полезной информации.

Классификация:

Все колебания по определенным признакам можно разбить на несколько групп.

Во-первых, все колебания делятся на

-детерминированные (регулярные);

-случайные.

Регулярные дают возможность аналитического описания, либо описания в другой форме (графической и т. д.) и позволяют определить значение колебания в любой момент времени.

Случайные не дают возможность аналитического описания и не дают возможность узнать значение колебания в любой момент времени.

Разделение на эти две группы достаточно условно и разделять мы будем по степени случайности.

Во-вторых, все колебания делятся на

-непрерывные;

-импульсные.

Непрерывные колебания продолжаются бесконечно долго (очень долго). Они обладают бесконечной энергией.

Импульсные колебания отличны от нуля на конечном интервале времени и обладают конечной энергией.

Среди непрерывных колебаний особое место занимают периодические колебания, то есть колебания, значения которых повторяются через равный промежуток времени, который называется периодом. Среди периодических колебаний очень интересны гармонические колебания.

В-третьих, все колебания можно разделить на:

-немодулированные высокочастотные (ВЧ) колебания (несущие), они являются гармоническими;

-управляющие колебания;

-модулированные высокочастотные (ВЧ) колебания (радиосигнал).

Радиосигнал получается путем модуляции несущего сигнала управляющим колебанием.

В-четвертых, все колебания делятся на

-аналоговые;

-дискретные;

-цифровые.

Аналоговые произвольны по величине и непрерывны по времени. Дискретные произвольны по величине, но дискретны по времени, то есть они определены лишь в дискретные моменты времени. Цифровые дискретны и по времени, и по величине.

В радиотехнике обычно применяют довольно сложные сигналы, поэтому для упрощения их анализа удобно представить сложные колебания суммой или линейной комбинацией более простых колебаний.

Разложение колебания по системе ортогональных функций.

При разбиении сложного колебания на более простые составляющие в качестве последних обычно выбирают упорядоченную систему функций, например систему ортогональных функций.

Система вещественных функций

называется ортогональной в интервале времени [t₁;t₂], если на этом интервале выполняется условие попарной ортогональности функций:

- норма функции х_к(t).

Если нормы у всех функций равны 1, то такая система функций называется ортонормированной.

Из математики известно, что если функции x_k(t) непрерывные, то произвольное кусочно-непрерывное колебание s(t), удовлетворяющее условию:

может быть представлено суммой

(1)

где – коэффициенты разложения.

Принято называть совокупность этих коэффициентов спектром колебания s(t) в ортогональной системе функций. Заметим, что набор коэффициентов полностью определяет колебание s(t).

Если коэффициенты выбирают в соответствии с правилом

(2),

то ряд (1) называют обобщенным рядом Фурье.

Обобщенный ряд Фурье, при заданном числе слагаемых ряда, обеспечивает наилучшую сходимость в смысле средне квадратичного отклонения (то есть оно наименьшее)

(3)

- наименьшая

(4)

Систему ортогональных функций называют полной, если при , следовательно, для полной системы

(5)

Если колебание s(t) электрическое, то левая часть равенства (5) представляет собой энергию, выделяемую этим колебанием на единичном сопротивлении на интервале времени от t₁ до t₂.

Отсюда следует, что энергия W_S может быть вычислена по коэффициентам разложения

(6)