Представление периодического колебания рядом Фурье в комплексной форме

 

Преобразуем известное разложение в ряд Фурье по тригонометрическим функциям:

  (1)

где ;

Известно, что:

 (2)

С учетом (2) получим:

 – комплексная амплитуда k-ой гармонической составляющей.

 

 

Представление колебания рядом Фурье в комплексной форме:

(3)

При таком представлении считается, что в состав колебания входят гармоники с положительными и отрицательными частотами.

При комплексном представлении ряда Фурье, амплитудные и фазовые спектры периодического колебания становятся двухсторонними. Амплитуды гармоник с частотами kΩ и    - kΩ равны .

На практике можно использовать и односторонние и двухсторонние спектры.

 

Пример:

 

 

 

 

 

 

 - среднее значение (постоянная составляющая).

 

 

1) Пусть период

    

 

2)

3)