Спектральный анализ импульсного колебания. Прямое и обратное преобразование Фурье

Пусть имеется одиночный импульс s(t).

Мысленно (пунктиром) осуществим периодическое повторение этого импульса с периодом Т, для этой периодической последовательности запишем:

(1)

(2)

Подставим (2) в (1), получим:

(3)

Выражение (3) справедливо для нашего импульса лишь на интервале от 0 до Т. При Т →∞, Ω→dω, kΩ→ω, получим:

– спектральная характеристика импульсного колебания.

(4) – прямое преобразование Фурье,

(5) – обратное преобразование Фурье.

Вместо (4) и (5) договорились писать условное обозначение:

Спектральная характеристика в общем случае комплексная функция, а значит у нее есть модуль и аргумент, то есть .

Выясним физический смысл спектральной характеристики и ее модуля. Сравним выражения (5) и (1):

(5)

(1)

и имеют один и тот же смысл.

– комплексная амплитуда гармоники с частотой ω.

(6)

(7) – модуль спектральной характеристики, имеет смысл спектральной плотности амплитуд, его принято называть амплитудным спектром импульса.

– фазовый спектр; в отличие от спектров периодического колебания спектры импульсного колебания являются непрерывными, сплошными.

Пример: найдем спектральную характеристику импульса

В состав импульсного колебания могут входить гармоники с любыми частотами.

Найдем связь спектра импульсного колебания (одиночного импульса) и спектра периодической последовательности таких импульсов. Для этого сопоставим выражения (2) и (4)

(2)

(4)

Можно сказать:

(8)

(9)

(10)

Из выражения (10) следует, что модуль спектральной характеристики одиночного импульса и огибающая дискретного амплитудного спектра периодической последовательности этих импульсов, совпадают по форме и отличаются лишь масштабным коэффициентом 1/Т.