Критерий Коши сходимости ряда

Теорема. Для того чтобы числовой ряд  сходился, необходимо и достаточно, чтобы для произвольного ε > 0 нашелся номер N = N (ε) такой, что для всех n > N неравенство | а_n + а_{n +1} + … + а_{n + p} |< ε выполнялось для всех р = 0, 1, 2, …

Пример 4. Исследовать на сходимость ряд + + + … + +…

• Используем критерий Коши: возьмем р = 2 n.

Имеем: | a_n + … + a _{2 n} |= > > = . 

Критерий Коши не выполняется. Следовательно, ряд расходится.

Следствие. Так как для сходимости ряда неравенство | а_n + а_{n +1} + … + а_{n + p} |< ε должно выполняться для

         всех р = 0, 1, 2, …, в т.ч. и для р = 0, то это означает, что, если ряд  сходится, то а_n = 0.

       Отсюда следует

Необходимый признак сходимости ряда

Если  а_n отличен от нуля или не существует, то ряд  расходится.

Но если а_n = 0, то ряд может как сходиться, так и расходиться. 

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд–1 + 0 + + + cos + … = .

• Используем необходимый признак сходимости: a_n = cos  = cos 0 = 1 ≠ 0 => ряд расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряд1 + + + + … =  (гармонический ряд).

• Используем необходимый признак сходимости: a_n =  = 0, но гармоническийряд расходится.

РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

Признак сравнения

Пусть даны два ряда а ₁ + а ₂ + а ₃ + … + а_n + … =   и b ₁ + b ₂ + b ₃ + … + b_n + … = , члены которых а_n и b_n положительны. Если, начиная с некоторого номера N, для всех n > N выполняется неравенство а_n ≤ b_n, то из сходимости (большего) ряда  следует сходимость (меньшего) ряда , а из расходимости (меньшего) ряда  следует расходимость (большего) ряда .

⃰ Составим частичные суммы данных рядов: S_n = а ₁ + а ₂ + а ₃ + … + а_n, = b ₁ + b ₂ + b ₃ + … + b_n. Из условия теоремы следует, что S_n ≤ n = 1, 2, …

1) Предположим, что ряд сходится, т.е. существует  = . Так как все члены данных

рядов положительны,  то  0 ≤ ≤ , откуда в силу того, что а_n ≤ b_n 0 ≤ S_n ≤ n = 1, 2, …. Таким образом, все частичные суммы S_n ряда ограничены и возрастают при возрастании n Следовательно, последовательность частичных сумм { S_n } является сходящейся, что означает сходимость ряда . При этом, при переходе к пределу в неравенстве 0 ≤ S_n ≤ при n →∞ получим, что 0 ≤ S ≤ , т.е. сумма S ряда  не превосходит суммы сходящегося ряда .

2) Пусть ряд расходится. Так как все а_n ≥ 0, то последовательность { S_n } возрастает и,

следовательно, S_n = +∞. В силу неравенства  ≥ S_n (n = 1, 2, …) получаем = +∞, т.е.ряд   расходится.