Свойства степенных рядов

1. Ряд   сходится абсолютно на любом отрезке  [– a, а ], a > 0, где [– a, а ] (– R, R), R > 0.

2. Сумма ряда S (x) =  непрерывна в каждой точке х его интервала сходимости (– R, R), R > 0.

3. Степенной ряд   можно почленно интегрировать в его интервале сходимости (– R, R),

R > 0,  причем радиус сходимости ряда, полученного почленным интегрированием, также равен R.

Для х (– R, R) справедлива формула

=  = x^{n +1}.

4. Степенной ряд   можно почленно дифференцировать в любой точке х его интервала сходимости (– R, R), R > 0, причем радиус сходимости ряда, полученного почленным дифференцированием, также равен R. При этом выполняется равенство

S´ (x) = = .  

Следствие. Степенной ряд можно почленно дифференцировать сколько угодно раз в любой точке х его интервала сходимости (– R, R), R > 0, причем радиусы сходимости всех получаемых рядов будут равны R.

 

Контрольные вопросы

1. Может ли интервал сходимости ряда  быть таким:

а) (–2, 0) Нет.      б) (0, 2) Нет.      в) (–3, 1) Нет.      г)  (–∞, ∞) Да.      д) (–3, 3)? Да.

2. Известно, что ряд в точке х = 2 расходится. Что можно сказать о сходимости ряда

в  точке        а) х = 5Расходится    б) х = 3,5 Ничего                в) х = 4? Ничего 

     3. Известно, что ряд в точке х = 2 сходится абсолютно. Что можно сказать о

       сходимости ряда в точке     а) х = 5 Ничего       б) х = 3,5Сходится абсолютно         в) х = 4? Ничего 

4. Существует ли степенной ряд, для которого верно следующее утверждение:

         а) на обоих концах интервала сходимости ряд расходится; Да.

          б) на одном конце интервала сходимости ряд сходится условно, на другом абсолютно;Нет.

          в) на обоих концах интервала сходимости ряд сходится абсолютно;Да.

          г) на одном конце интервала сходимости ряд сходится условно, на другом расходится;Да.

          д) на одном конце интервала сходимости ряд сходится абсолютно, на другом расходится? Нет.

 

 

РЯД ТЕЙЛОРА

Рядом Тейлора функции f (x) относительно точки х ₀ называется степенной ряд вида

f (x ₀) + (x – x ₀) + (x – x ₀)² + … + (x – x ₀) ⁿ + … = .

Коэффициенты этого ряда    

с ₀ = f (x ₀), с ₁ = , с ₂ = , с_n = , …

называются коэффициентами Тейлора функции f (x).

       При х ₀ = 0 ряд Тейлора называют рядом Маклорена:

f (0) + x + x ² + x ³ + … + xⁿ + … = .

Теорема. Для того чтобы функцию f (x) можно было разложить в степенной ряд   на интервале (– R, R), R > 0, необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале функция f (x) имела производные всех порядков и

а) чтобы в ее формуле Тейлора остаточный член R_n (x) = f (x)–  стремился к нулю

при n, стремящемся к бесконечности, х (– R, R) или

б) чтобы существовала constM > 0 такая, что | f ^{( n )}(x) |≤ M для n = 0, 1, 2, …и х (– R, R).