Предельный признак сравнения

Если существует конечный отличный от нуля предел = L, то ряды и сходятся или расходятся одновременно, т.е. из сходимости одного из них следует сходимость другого и, наоборот, из расходимости одного из них следует расходимость другого.

⃰ Из существования указанного выше предела следует, что ε> 0 номер Nтакой, что n>Nбудет выполняться неравенство < ε, или L – ε < < L + ε. Отсюда (L – ε) b_n < а_n <(L+ε) b_n n>N.

Если ряд сходится, то сходится и ряд . Но т.к. а_n <(L+ε) b_n n>N, то в силу признака сравнения будет сходиться и ряд . Если же ряд расходится, то расходится и ряд . Т.к.а_n >(L–ε) b_n n>N, то в силу признака сравнения будет расходиться и ряд .

При использовании признаков сравнения для исследования сходимости рядов исходный ряд надо сравнивать с рядом, о котором известно, сходится он или расходится. Такими рядами являются геометрический ряд, гармонический ряд и ряд Дирихле.

Рекомендации:

1. Признаки сравнения обычно используют в случаях, когда другие признаки «не срабатывают».

2. Более распространенным является предельный признак сравнения. При этом часто используют эквивалентность бесконечно малых последовательностей (при n →∞), например,

sin ~ tg ~ arcsin ~ arctg ~ ln ~ – 1 ~ ; – 1 ~ ; ~ e.

3. Признак сравнения обычно используют в случаях, когда в числителе или знаменателе одним из слагаемых является ограниченная функция от n, например, | sin n | ≤ 1, | cos n | ≤ 1, | arctg n | ≤ и т.п.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .

• НПС: a_n = = 0=> может как сходиться, так и расходиться.

Признак сравнения:a_n = ≤ = = b_n. Ряд сходящийся геометрический (q = > 1) =>

сходится исходный (меньший) ряд.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд .

• НПС: a_n = = 0=> может как сходиться, так и расходиться.

Признак сравнения:a_n = > = b_n. Ряд расходящийся гармонический => расходится исходный (больший) ряд.

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд .

• НПС: a_n = = 0=> может как сходиться, так и расходиться.

Предельный признак сравнения:a_n = ~ = b_n. = = = 1 ≠ . Т.к. ряд

= π расходящийся(гармонический) => расходится исходный ряд.

Признак Даламбера

Пусть дан ряд , где все а_n > 0. Если существует предел = L, то при 0 ≤ L < 1 ряд сходится, а при L > 1 расходится.

⃰ Пусть существуетпредел = L, где 0 ≤ L < 1. Возьмем qтакое, что L < q <1. Тогда ε> 0, например, для ε = q–L N: n≥Nвыполняется < q–L. В частности, –L < q–Lили < q. Отсюдаследует, что а_n ₊₁< а_nq n≥N. Из этого неравенства, придавая n последовательно значения N,N +1, N +1, …, получим

Члены ряды а_N₊ ₁+ а_N₊ ₂+ а_N₊ ₃+ … не превосходят соответствующих членов ряда

а_Nq + а_Nq ²+ а_Nq ³+ …, который сходится как геометрический ряд со знаменателем q, 0 < q < 1. По признаку сравнения ряд а_N₊ ₁+ а_N₊ ₂+ а_N₊ ₃+ … сходится, а, значит, сходится и исходный ряд .

В случаеL > 1, начиная с некоторого номераN,будет выполняться неравенство

> 1, или а_n ₊₁> а_n > 0. Следовательно, а_n ≠ 0, и ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.

Замечание. Если = 1 или не существует, то признак Даламбера ответа о сходимости или

расходимости ряда не дает. Необходимо использовать другие признаки (сравнения, интегральный)

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд .

• НПС: a_n = = 0=> может как сходиться, так и расходиться.

Д: = = = = < 1=> исх. ряд сходится.

Пример 11. Исследовать на сходимость ряд .

• НПС: a_n = ?Может как сходиться, так и расходиться.

Д: = = = = е > 1=> исх. ряд расходится.

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд .

• НПС: a_n = =0. Может как сходиться, так и расходиться.

Д: = = = 1=> надо использовать другой признак.

Признак Коши

Пусть дан ряд , где все а_n > 0. Если существует предел = L, то при 0 ≤ L < 1 ряд сходится, а при L > 1 расходится.

⃰ Пусть L < 1. Возьмем qтакое, что L < q <1. Т.к. существует предел = L, где L < q, то, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство <q.В самом деле, из предельного неравенства вытекает, что ε> 0, в т.ч.и для ε = q–L N: n ≥ N => < ε = q– L. Отсюда < q–Lили < q => а_n < qⁿ n ≥ N. Т.о.,все члены ряда, начиная с а_N₊ ₁, меньше соответствующих членов сходящегося ряда . По признаку сравнения ряд сходится, а, значит, сходится и исходный ряд .

В случаеL > 1, начиная с некоторого номераN, n ≥ N, будет выполняться неравенство

> 1, или а_n >1. Следовательно, а_n ≠ 0, и ряд расходится, т.к. не выполнен необходимый признак сходимости.

Замечание. Если L = 1 или не существует, то признак Коши ответа о сходимости или

расходимости ряда не дает. Необходимо использовать другие признаки (сравнения, интегральный)

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд .

• НПС: a_n =?=> может как сходиться, так и расходиться.

К: = = 0 < 1=> исх. ряд сходится.

Пример 14. Исследовать на сходимость ряд .

• НПС: a_n = ?Может как сходиться, так и расходиться.

К: = = е > 1=> исх. ряд расходится.

Интегральный признак

Пусть функция f (x) определена, непрерывна, положительна и не возрастает на луче х ≥ 1. Тогда

1) числовой ряд сходится, если сходится несобственный интеграл ;

2) ряд расходится, если расходится несобственный интеграл .

f (n)

f (3)

f (2)

f (1)

y=f (x)

n-1

⃰ Возьмем на графике функции f (x) точки с абсциссами

x ₁ = 1, x ₂ = 2, x ₃ = 3, …, x_n = n

и построим две ступенчатые фигуры, состоящие из высту-

пающих и входящихпрямоугольников так, как показано на

рисунке.

Площадь Qкриволинейной трапеции, ограниченной прямыми

х= 1, х= n, y = 0 и кривойу = f (x) равнаQ = .

Возьмем n-ю частичную сумму ряда : S_n = f (1) + f (2) + f (3) + … + f (n). Тогда площадь

Q₊ выступающей фигурыбудет равнаQ₊ = f (1) + f (2) + f (3) + … + f (n – 1) = S_n_- ₁, а площадь Q _– входящей фигурыравна: Q _–= f (2) + f (3) + f (3) + … + f (n) = S_n – f (1).

Из построения и свойств функции f (x) вытекает, что Q _–< Q < Q₊, т.е.

S_n – f (1) < < S_n_- ₁. Т.к.S_n_- ₁< S_n (в силу условияf (n)> 0), то

S_n – f (1) < < S_n, n = 1, 2, … (1)

1) Пусть интеграл сходится. Тогда существует предел = А. Так как

≤ А = (в силу условияf (х)> 0 для х [1, +∞]), то из неравенств (1) следует, что

S_n < f (1) + ≤ f (1) + А = М = const, т.е. 0 < S_n < М для n = 1, 2, …. Тем самым, последовательность { S_n } ограничена, и при возрастании n сумма S_nвозрастает, т.к.f (n)> 0 для n = 1, 2, …. Поэтому она имеет предел S_n = S, что означает сходимость ряда .