Свойства сходящихся функциональных рядов

1. Если все члены функционального ряда , сходящегося на [ a, b ], умножить на одну и ту же функцию g (x), ограниченную на [ a, b ], то полученный функциональный ряд будет сходиться на [ a, b ].

2. Пусть все члены ряда , сходящегося на отрезке [ a, b ], непрерывны. Тогда сумма S (x) ряда также непрерывна на этом отрезке.

3. Пусть все члены ряда , сходящегося на отрезке [ a, b ] к функции S (x), непрерывны. Тогда справедливо равенство =  = , т.е. данный ряд можно почленно интегрировать в пределах от х ₀ до х при любых х и х ₀ из отрезка [ a, b ].

4. Пусть все члены ряда , сходящегося на отрезке [ a, b ] к функции S (x), имеют непрерывные производные и ряд , составленный из этих производных, сходится. Тогда в любой точке х [ a, b ] справедливо равенство S´ (x) = = , т.е. данный ряд можно почленнодифференцировать.

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Теорема Абеля

Функциональный ряд вида

c ₀ + c ₁ x + c ₂ x ² + … + c_nxⁿ + … = (1)

   или     c ₀ + c ₁(x – x ₀) + c ₂(x – x ₀)² + … + c_n (x – x ₀) ⁿ + … = ,(2)

   где коэффициенты c ₀, c ₁, c ₂, …, c_n, … – постоянные, называется степенным рядом.

       Ряд (2) заменой x – x ₀ на х сводится к ряду (1). Ряд (1) всегда сходится в точке х = 0, а ряд (2) – в

   точке x ₀, и их сумма в этих точках равна c ₀.

сходится

расходится

расходится

x

O

x 2

x 1

-x 2

-x 1

Теорема (Абель). Если степенной ряд  сходится при х = х ₁ ≠ 0, то он сходится абсолютно для всех х таких, что | x | < | х ₁ |;если степенной ряд расходится при х = х ₂, то он расходится при всех х таких, для которых | x | > | х ₂ |.

⃰

 

x

сходится

расходится

расходится

x

O

R

-R

Следствие. Если ряд  сходится в точке х ≠ 0, то он либо сходится абсолютно в каждой точке числовой прямой, либо найдется число R > 0, такое, что ряд сходится абсолютно при | x | < R и расходится при | x | > R.

⃰

 

       Интервал (– R, R) называется интервалом сходимости, а число R радиусом сходимости степенного ряда. Ряд   имеет тот же радиус сходимости, что и ряд , но его интервал сходимости (x ₀ – R, x ₀ + R).

       В точках х = – R и х = R для ряда (1) и х = x ₀ – R и х = x ₀ + R для ряда (2) получаем числовой ряд, сходимость которого проверяется с помощью признаков сходимости числовых рядов.

Радиус сходимости степенного ряда  (или ряда ) можно найти по формулам:

R = или R = .

⃰ Доказательство для ряда :   

Для признака Даламбера:

 = | x |· < 1 => | x | < => R = .

Для признака Коши:

 = | x |· < 1 => | x | < => R = .

Пример 27. Найти область сходимости степенного ряда .

• Имеем: c_n = (–1) ^{n– 1} n, c_{n +1} = (–1) ⁿ (n +1). R = = = 1 => ряд сходится абсолютнона интервале –1 < x < 1.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости:

При х = –1 получим числовой ряд = = . Этот ряд расходится,

т.к. не выполняется необходимый признак сходимости (– n)≠ 0.

При х = 1 получим числовой ряд . Этот ряд расходится, т.к. не выполняется

необходимый признак сходимости (–1) ^{n– 1} nне существует.

Т.о., областью сходимости данного ряда является интервал –1 < x < 1.

Пример 28. Найти область сходимости ряда .

• Имеем: c_n = , c_{n +1} = . R = = = 2  = 2 => ряд сходится абсолютнона интервале | x + 2 |<2 или –4 < x < 0.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости:

При х = –4 получим числовой ряд = = – , который расходится

(гармонический ряд).

При х = 0 получим числовой ряд = . Это ряд лейбницевского типа =>

сходится условно.

Т.о., областью сходимости данного ряда является интервал –4< x ≤0.

Пример 29. Найти область сходимости ряда .

• Имеем: c_n = . R = = = n = +∞ => ряд сходится абсолютнопри всех значениях х, т.е. область сходимости данного ряда –∞< x ≤ +∞.

Пример 30. Найти интервал сходимости ряда .

• Имеем: c_n = n!, c_{n +1} = (n +1)!, R = = = = 0 => РавенствоR =0 означает, что ряд сходится  только в точке х = 0, т.е. область сходимости данного ряда состоит из одной точки х = 0.