1. Если все члены функционального ряда , сходящегося на [ a, b ], умножить на одну и ту же функцию g (x), ограниченную на [ a, b ], то полученный функциональный ряд будет сходиться на [ a, b ].
2. Пусть все члены ряда , сходящегося на отрезке [ a, b ], непрерывны. Тогда сумма S (x) ряда также непрерывна на этом отрезке.
3. Пусть все члены ряда , сходящегося на отрезке [ a, b ] к функции S (x), непрерывны. Тогда справедливо равенство = = , т.е. данный ряд можно почленно интегрировать в пределах от х 0 до х при любых х и х 0 из отрезка [ a, b ].
4. Пусть все члены ряда , сходящегося на отрезке [ a, b ] к функции S (x), имеют непрерывные производные и ряд , составленный из этих производных, сходится. Тогда в любой точке х [ a, b ] справедливо равенство S´ (x) = = , т.е. данный ряд можно почленнодифференцировать.
СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Теорема Абеля
Функциональный ряд вида
c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + … + cnxn + … = (1)
или c 0 + c 1(x – x 0) + c 2(x – x 0)2 + … + cn (x – x 0) n + … = ,(2)
где коэффициенты c 0, c 1, c 2, …, cn, … – постоянные, называется степенным рядом.
|
|
Ряд (2) заменой x – x 0 на х сводится к ряду (1). Ряд (1) всегда сходится в точке х = 0, а ряд (2) – в
точке x 0, и их сумма в этих точках равна c 0.
сходится |
расходится |
расходится |
x |
O |
x 2 |
x 1 |
-x 2 |
-x 1 |
⃰
x |
сходится |
расходится |
расходится |
x |
O |
R |
-R |
⃰
Интервал (– R, R) называется интервалом сходимости, а число R радиусом сходимости степенного ряда. Ряд имеет тот же радиус сходимости, что и ряд , но его интервал сходимости (x 0 – R, x 0 + R).
В точках х = – R и х = R для ряда (1) и х = x 0 – R и х = x 0 + R для ряда (2) получаем числовой ряд, сходимость которого проверяется с помощью признаков сходимости числовых рядов.
Радиус сходимости степенного ряда (или ряда ) можно найти по формулам:
R = или R = .
⃰ Доказательство для ряда :
Для признака Даламбера:
= | x |· < 1 => | x | < => R = .
Для признака Коши:
= | x |· < 1 => | x | < => R = .
Пример 27. Найти область сходимости степенного ряда .
• Имеем: cn = (–1) n– 1 n, cn +1 = (–1) n (n +1). R = = = 1 => ряд сходится абсолютнона интервале –1 < x < 1.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости:
При х = –1 получим числовой ряд = = . Этот ряд расходится,
|
|
т.к. не выполняется необходимый признак сходимости (– n)≠ 0.
При х = 1 получим числовой ряд . Этот ряд расходится, т.к. не выполняется
необходимый признак сходимости (–1) n– 1 nне существует.
Т.о., областью сходимости данного ряда является интервал –1 < x < 1.
Пример 28. Найти область сходимости ряда .
• Имеем: cn = , cn +1 = . R = = = 2 = 2 => ряд сходится абсолютнона интервале | x + 2 |<2 или –4 < x < 0.
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости:
При х = –4 получим числовой ряд = = – , который расходится
(гармонический ряд).
При х = 0 получим числовой ряд = . Это ряд лейбницевского типа =>
сходится условно.
Т.о., областью сходимости данного ряда является интервал –4< x ≤0.
Пример 29. Найти область сходимости ряда .
• Имеем: cn = . R = = = n = +∞ => ряд сходится абсолютнопри всех значениях х, т.е. область сходимости данного ряда –∞< x ≤ +∞.
Пример 30. Найти интервал сходимости ряда .
• Имеем: cn = n!, cn +1 = (n +1)!, R = = = = 0 => РавенствоR =0 означает, что ряд сходится только в точке х = 0, т.е. область сходимости данного ряда состоит из одной точки х = 0.