2018-03-09
347
РЯДЫ Лекции
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Числовой ряд. Сумма ряда
Пусть имеется бесконечная числовая последовательность { аn } = а 1, а 2, а 3, …, аn, …. Просуммируем
члены этой последовательности
а 1 + а 2 + а 3 + … + аn + … = 
(1)
Сумма (1) называется числовым рядом, числа а 1, а 2, а 3, …, аn, … – членами ряда, число аn – общим
(n -м) членом ряда.
Конечная сумма Sn = а 1 + а 2 + а 3 + … + аn = 
называется n - й частичной суммой ряда. Частичные суммы ряда образуют свою последовательность{ Sn }:
S 1 = а 1, S 2 = а 1 + а 2, …, Sn = а 1 + а 2 + а 3 + … + аn.
Определение: Если последовательность частичных сумм { Sn } имеет конечный предел 
Sn = S, т.е. последовательность { Sn } сходится при n → ∞, то этот предел называют суммой ряда , пишут
= S и говорят, что ряд сходится. Если же предел Sn не существует, то говорят, что ряд расходится (и суммы не имеет).
Пример 1. Показать, что ряд 
+ 
+ … + 
+… = 
сходится и найти его сумму.
• Имеем: = 
= 
. Отсюда
Sn = 
+ 
+ … + = 
+ 
+ … + = 
.
Sn = 
= . Т.о., ряд сходится и его сумма равнаS = .
|
|
|
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд из членов геометрической прогрессии со знаменателем q (q ≠ 0),
a + aq + aq 2 + … aqn -1 + …
• Имеем:Sn = a + aq + aq 2 + … aqn -1 = 
= 
– 
(q ≠ 1).
Если | q | < 1, то qn = 0 и Sn = , т.е., данный ряд сходится и его сумма равна 
= .
Если | q | > 1, то qn = ∞ и Sn =∞, т.е., ряд расходится.
Если q = –1, получим расходящийся ряд а – а + а – а + …. Для него Snне существует.
Если q = 1, получим ряд а + а + а + а + …. Для него Sn = na =∞, т.е.,ряд расходится.
Т.о., рядa + aq + aq 2 + … aqn -1 + … сходится при| q | < 1 и его сумма равна , и расходится при | q | ≥ 1.
Замечательные ряды: (запомнить!)
1). Геометрический ряд – ряд составленный из членов геометрической прогрессии (см. пример 2).
2). Ряд Дирихле 
: сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1.
3). Гармонический ряд 
– расходится.
Простейшие действия над рядами
Теорема 1. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из него изменением (в частности отбрасыванием) любого конечного числа его членов. Обратно, из сходимости ряда, полученного из ряда изменением (в частности отбрасыванием) конечного числа членов, вытекает и его сходимость.
⃰ Доказательство следует из конечности суммы конечного числа членов ряда.
Теорема 2. Если ряд сходится, то сходится и ряд 
, причем 
= λ .
⃰ Доказательство следует из того, что λSn = λ Sn.
Теорема 3. Если ряды и 
сходится, то их сумма и разность, т.е. ряды 
и 
, также сходятся, причем 
= ± .
⃰ Доказательство следует из того, что (Sn ± Сn) = Sn ± Сn.
Определение: Если в сходящемся ряде а 1 + а 2 + а 3 + … + аn + аn +1 + аn +2 + … = 
отбросить первые n членов, то получим сходящийся ряд аn +1 + аn +2 + … + аn + k + …, который называют n-м остатком этого ряда и обозначают Rn = 
. Тогда исходный ряд можно записать 
= Sn + Rn.
|
|
|
Если S – сумма ряда , то остаток ряда Rn = S – Sn для любого n = 1, 2, ….
Пример 3. n-м остатком ряда является рядRn = aqn + aqn +1 + … + aqn+ k -1 + … = 
, который
сходится | q | < 1.
