Простейшие действия над рядами

РЯДЫ Лекции

ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

Числовой ряд. Сумма ряда

Пусть имеется бесконечная числовая последовательность { а_n } = а ₁, а ₂, а ₃, …, а_n, …. Просуммируем

члены этой последовательности

а ₁ + а ₂ + а ₃ + … + а_n + … = (1)

Сумма (1) называется числовым рядом, числа а ₁, а ₂, а ₃, …, а_n, … – членами ряда, число а_n – общим

(n -м) членом ряда.

Конечная сумма S_n = а ₁ + а ₂ + а ₃ + … + а_n = называется n - й частичной суммой ряда. Частичные суммы ряда образуют свою последовательность{ S_n }:

S ₁ = а ₁, S ₂ = а ₁ + а ₂, …, S_n = а ₁ + а ₂ + а ₃ + … + а_n.

Определение: Если последовательность частичных сумм { S_n } имеет конечный предел S_n = S, т.е. последовательность { S_n } сходится при n → ∞, то этот предел называют суммой ряда , пишут

= S и говорят, что ряд сходится. Если же предел S_n не существует, то говорят, что ряд расходится (и суммы не имеет).

Пример 1. Показать, что ряд + + … + +… = сходится и найти его сумму.

• Имеем: = = . Отсюда

S_n = + + … + = + + … + = .

S_n = = . Т.о., ряд сходится и его сумма равнаS = .

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд из членов геометрической прогрессии со знаменателем q (q ≠ 0),

a + aq + aq ² + … aqⁿ ^-1 + …

• Имеем:S_n = a + aq + aq ² + … aqⁿ ^-1 = = – (q ≠ 1).

Если | q | < 1, то qⁿ = 0 и S_n = , т.е., данный ряд сходится и его сумма равна = .

Если | q | > 1, то qⁿ = ∞ и S_n =∞, т.е., ряд расходится.

Если q = –1, получим расходящийся ряд а – а + а – а + …. Для него S_nне существует.

Если q = 1, получим ряд а + а + а + а + …. Для него S_n = na =∞, т.е.,ряд расходится.

Т.о., рядa + aq + aq ² + … aqⁿ ^-1 + … сходится при| q | < 1 и его сумма равна , и расходится при | q | ≥ 1.

Замечательные ряды: (запомнить!)

1). Геометрический ряд – ряд составленный из членов геометрической прогрессии (см. пример 2).

2). Ряд Дирихле : сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1.

3). Гармонический ряд – расходится.

Простейшие действия над рядами

Теорема 1. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из него изменением (в частности отбрасыванием) любого конечного числа его членов. Обратно, из сходимости ряда, полученного из ряда изменением (в частности отбрасыванием) конечного числа членов, вытекает и его сходимость.

⃰ Доказательство следует из конечности суммы конечного числа членов ряда.

Теорема 2. Если ряд сходится, то сходится и ряд , причем = λ .

⃰ Доказательство следует из того, что λS_n = λ S_n.

Теорема 3. Если ряды и сходится, то их сумма и разность, т.е. ряды и , также сходятся, причем = ± .

⃰ Доказательство следует из того, что (S_n ± С_n) = S_n ± С_n.

Определение: Если в сходящемся ряде а ₁ + а ₂ + а ₃ + … + а_n + а_n ₊₁ + а_n ₊₂ + … = отбросить первые n членов, то получим сходящийся ряд а_n ₊₁ + а_n ₊₂ + … + а_n ₊ _k + …, который называют n-м остатком этого ряда и обозначают R_n = . Тогда исходный ряд можно записать = S_n + R_n.