Основная задача небесной механики

движение небесных тел в гравитационном поле является предметом изучения небесной механики. При этом, как правило, принимаются следующие упрощающие допущения [Балк, 1965]:

1. При изучении движения некоторого небесного тела (планеты, астероида или спутника) рассматривается его гравитационное взаимодействие лишь с небольшим числом других тел (как правило, одним или двумя). Гравитационным взаимодействием с бесконечным множеством прочих небесных тел, имеющих малую массу или расположенных на большом расстоянии от изучаемого тела, пренебрегают

2. Все небесные тела считаются абсолютно твердыми.

3. Если расстояние между двумя объектами велико по сравнению с их размерами, то эти объекты рассматриваются как материальные точки.

Замечание 2.2. Можно показать, что гравитационное поле, создаваемое сферическим телом массы m со сферическим распределением плотности*, эквивалентно гравитационному полю, создаваемому материальной точкой той же массы m, помещенной в центре сферического тела. Поэтому в тех случаях, когда несферичностью формы и несферичностью распределения плотности небесного тела можно пренебречь, это тело также обычно рассматривают как материальную точку.

Основной задачей небесной механики является так называемая задача n тел: изучить движение n материальных точек в их взаимном гравитационном поле, если известны массы этих точек, а также их положения и скорости в некоторый заданный момент времени.

Самый простой пример задачи n тел — изучение движения Солнца и планет Солнечной системы.

Замечание 2.3. Задача n тел имеет простое аналитическое решение только при n = 2. При n = 3 аналитическое решение существует, но не может быть выражено в элементарных функциях, при n > 3 аналитического решения не найдено. Поэтому для практического решения задачи трех и более тел применяются методы численного интегрирования.

Аналитическое решение задачи n тел для случаев n = 1 и n = 2 было найдено Ньютоном. При n = 1 взаимодействия отсутствуют, и тело остается в состоянии покоя либо движется равномерно и прямолинейно — это утверждение составляет сформулированный Ньютоном первый закон классической механики. При n = 2 движение взаимодействующих тел подчиняется закону всемирного тяготения. Ньютон показал, что в этом случае тела движутся в фиксированной плоскости, определяемой начальными условиями, а их орбиты друг относительно друга и относительно общего центра масс представляют собой кривые, называемые коническими сечениями (эллипсы, параболы или гиперболы)

Важнейшим частным случаем задачи n тел является изучение движения тела пренебрежимо малой массы в гравитационном поле нескольких массивных тел, которые обычно называют центральными телами. Если несферичностью формы и несферичностью распределения плотности центральных тел можно пренебречь, то, согласно замечанию 2.2, эта задача может быть сформулирована как задача изучения движения материальной точки с пренебрежимо малой массой в гравитационном поле n – 1 материальных точек, масса и движение которых известны. Такая задача называется ограниченной задачей n тел. Массивные материальные точки в задаче n тел далее будем называть притягивающими центрами, а тело с бесконечно малой массой — спутником. Примером ограниченной задачи n тел является изучение движения космического аппарата в гравитационном поле Солнца, Земли, Луны и, быть может, еще нескольких небесных тел (планет или, например, астероидов).