Обчислення за методом ітерацій

Побудуємо ітераційний процес для обчислення значень функції , яка задана неявно, тобто за допомогою рівняння

.

Нехай  - наближене значення функції  у деякій точці . Тоді

де – деяке проміжне значення між . І отже,

Замінюючи в останній формулі невідоме значення на відоме , отримуємо формулу для уточненого значення функції в точці :

                (5)

Якщо похідні  і існують і зберігають постійні знаки в інтервалі, що містить шукане значення, то ітераційний процес при досить хорошому початковому наближенні збігається до . Початкове значення  вибирають, по можливості, близьким до істинного значення . Процес ітерації продовжують до тих пір, поки в межах заданої точності два послідовні наближення  та  не співпадуть між собою. Після цього вважають , при цьому, звичайно, не гарантується що , для цього потрібне додаткове дослідження.

ПРИКЛАД 12. Обчислення квадратного кореня.

Нехай , . Тоді   і формула  має вигляд

Це відома формула Герона. Ітераційний процес за формулою Герона легко програмується на ЕОМ, причому процес збігається при будь-якому виборі .

Обчислимо за цією формулою  з точністю до :

;

;

Отже, .

ПРИКЛАД 13. Обчислення кубічного кореня . Застосовуючи формулу (5) до функції , отримуємо ітераційну формулу для обчислення кубічного кореня

Використаємо її для обчислення

;

Отже,

Задачі

1. Узагальнити схему Горнера для ділення многочлена  на квадратичний множник .

2. Обчислити з точністю до  значення многочлена

 при

3. Обчислити з точністю до  значення многочлена

 при

4. Обчислити з точністю до

5. Обчислити з точністю до  при .

6. Обчислити з точністю до  при =0,4.

7. Вивести ітераційну формулу для обчислення оберненої величини квадратного кореня.

8. Обчислити  з точністю до .

9. Обчислити  з точністю до .

10. Скласти таблицю значень функції для

 з точністю до .

11. Обчислити  з точністю до .

ЧИСЕЛЬНЕ  РОЗВ’ЯЗАННЯ  АЛГЕБРАЇЧНИХ  ТА  ТРАНСЦЕНДЕНТНИХ  РІВНЯНЬ