Короткі відомості з лінійної алгебри

Сингулярним розкладенням дійсної матриці  називається представлення її у вигляді

,

де  і  - ортогональні матриці (нагадаємо, що дійсна матриця  називається ортогональною, якщо її транспонована матриця  співпадає із оберненою , тобто ), а  - діагональна матриця

,

де  - ранг матриці .

 

Величини  називаються сингулярними числами матриці , а стовпці матриць  і - лівими і правими сингулярними векторами.

Будь-яка матриця  - представлення деякого лінійного оператора в конкретних базисах (координатних системах). Виконуючи одне ортогональне перетворення в області визначення оператора, а інше ортогональне перетворення - в області його значень, перетворюємо представлення оператора на діагональне.

При цьому  - власні числа матриць  і  , стовпці матриці   є власними векторами матриці ; стовпці матриці   є власними векторами матриці . Дійсно, позначивши через   і   стовпці матриць   та   відповідно, маємо:

 ,

,

тоді

,

.

Елементи  матриці S дорівнюють:   при   та .

Отже, алгоритм побудови сингулярного розкладення в лінійній алгебрі грунтується на тому, що ненульові власні значення у матриць  і  однакові і що сингулярні числа матриці  є позитивними квадратними коренями з власних значень матриці .

Приклад 30.

Знайти сингулярне розкладення матриці

Отже, вимагається знайти представлення .

Оператор, представлений матрицею , діє з в .

Спочатку знаходимо сингулярні числа матриці . Для цього знаходимо матрицю

і її власні числа:

Значить, сингулярні числа  , .

Матриця

Щоб знайти матриці  і , виконаємо наступне.

1. Знаходимо матрицю . Для цього знадобляться власні вектори матриці :

 ,

Після нормування

,

Отже, шукана матриця

 .

 2. Знаходимо матрицю .

Спочатку

, ,

а нормування дає перші два вектори матриці :

 

Далі знаходимо ортонормований базис на ядрі оператора . Нагадаємо, що ядро  - множина елементів , для  яких .

У нашому прикладі

 звідки

 

Шукана матриця

3. Легко перевірити, що  .