Классическое определение вероятности события, ее свойства

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. Итак, вероятность события А определяется формулой

 где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А, n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства: А=Ø, тогда Р(А)=Р(Ø)=0

А=Л, Р(А)=Р(Л)=1

Ұ соб А, 0<Р(А)<1

Теорема сложения событий и следствия из нее.

Теорема (сложения вероятностей). Вероятность суммы двух случайных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их пересечения:

.

Доказательство.

;

Тогда

.

 

Условная вероятность, ее свойства.

Если вероятность случайного события А вычисляется по условию, что событие В произошло, то такая вероятность называется условной.

Свойства: Р(Ø/В)=Р(ØВ)/ Р(В)=Р(Ø)/Р(В)=0/Р(В)=0

Р(Л/В)=Р(Л*В)/Р(В)=Р(В)/Р(В)=1

Теорема умножения событий и следствия из нее.

Если Р(А)>0, Р(В)>0, то Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)=Р(В)*Р(А/В).

Следствия Для любых соб А,В,С

Р(А)>0, Р(В)>0, Р(С)>0

Р(АВС)=Р(А)*Р(В/А)*Р(С/АВ).

Понятие независимости событий. Свойство независимости. Теорема умножения для независимых событий.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности Вер Р(А) Р(В).

Свойства: Р(А/В)=Р(А), Р(В/А)=Р(В).

Если А и В независ, то Р(АВ)=Р(А)*Р(В) теор умножения незав.

Формула полной вероятности.

Предположим, что событие A может наступить только вместе с одним из нескольких попарно несовместных событий , образующих полную группу. Будем называть события (i = 1, 2,…, n) гипотезами доопыта (априори). Вероятность появления события А определяется по формуле полной вероятности:

Теорема Байеса.

Пусть – полная группа попарно несовместных событий (гипотезы). А – случайное событие. Тогда,

Последнюю формулу, позволяющей переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А, называют формулой Байеса.