Пусть задана функция вещественного переменного , определённая при . Функция, которая подвергается преобразованию Лапласа, должна обладать следующими свойствами:
1. функция должна быть определена и дифференцируема по всей положительной полуоси;
2. функция должна быть тождественно равна 0 при , т.е. ( при );
3. функция должна быть ограниченна, т.е. для функции существуют такие положительные числа М и с, что при , т.е. , где с – абсцисса абсолютной сходимости (некоторое положительное число).
Т.о. для некоторой кусочно-непрерывной функции , возрастающей при не быстрее чем , может быть поставлено в соответствие её преобразование Лапласа.
Преобразованием Лапласа называют соотношение вида ,
ставящее функции вещественного переменного в соответствие функцию комплексного переменного ().
При этом называется оригиналом, – изображением, для обозначения соответствия между изображением и оригиналом используют знак соответствия «».
Используется также символическая запись преобразования Лапласа, а именно, , где – оператор прямого преобразования Лапласа, - образ функции является функцией комплексного переменного , определяемой при .
|
|
Если функция тождественно равна 0 при , то может быть однозначно определена (с точностью до значений в точках разрыва) по своему - образу, т.е. , где - оператор обратного преобразования Лапласа.
Рассмотрим несколько примеров:
1.
;
2.
3.
Преобразование Лапласа обладает следующими свойствами:
· Линейности:
если , то , где
· Изменения масштаба во временной области:
если то .
· Смещения аргумента в области изображения (комплексной области):
пусть , тогда
· Смещения аргумента в области оригинала (вещественной области):
пусть , тогда
· Дифференцирования оригинала:
при ненулевых начальных условиях
при нулевых начальных условиях .
· Интегрирования оригинала при нулевых начальных условиях:
.
· Свертки функций в действительной области:
.
О предельных значениях:
- теорема о начальном значении
- теорема о конечном значении.