Преобразование Лапласа

Пусть задана функция вещественного переменного , определённая при . Функция, которая подвергается преобразованию Лапласа, должна обладать следующими свойствами:

1. функция должна быть определена и дифференцируема по всей положительной полуоси;

2. функция должна быть тождественно равна 0 при , т.е. ( при );

3. функция должна быть ограниченна, т.е. для функции существуют такие положительные числа М и с, что при , т.е. , где с – абсцисса абсолютной сходимости (некоторое положительное число).

Т.о. для некоторой кусочно-непрерывной функции , возрастающей при не быстрее чем , может быть поставлено в соответствие её преобразование Лапласа.

Преобразованием Лапласа называют соотношение вида ,

ставящее функции вещественного переменного в соответствие функцию комплексного переменного ().

При этом называется оригиналом, – изображением, для обозначения соответствия между изображением и оригиналом используют знак соответствия «».

Используется также символическая запись преобразования Лапласа, а именно, , где – оператор прямого преобразования Лапласа, - образ функции является функцией комплексного переменного , определяемой при .

Если функция тождественно равна 0 при , то может быть однозначно определена (с точностью до значений в точках разрыва) по своему - образу, т.е. , где - оператор обратного преобразования Лапласа.