Комплексная передаточная функция

Вернёмся к записи дифференциального уравнения в виде

Пусть функции  и  являются непрерывными, дифференцируемыми, ограниченными и тождественно равными 0 при . Применим преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях и получим

Обозначим:                    ,

                                                      .

, где

- обычные функции комплексного переменного.

Изображение выходного сигнала системы имеет вид:

 или .

Передаточной функцией в изображениях по Лапласу (ПФ) системы называется отношение изображения по Лапласу выходного сигнала  к изображению по Лапласа входного сигнала   при нулевых начальных условиях.

    Комплексная передаточная функция преобразования «вход–выход» системы может быть получена заменой символа дифференцирования  (или оператора дифференцирования) на комплексную переменную .

Передаточная функция представляет собой дробно-рациональную функцию, причем в реальной системе порядок числителя  не превышает порядка знаменателя , т.е. . Коэффициенты передаточной функции  вещественны, поскольку они представляют собой функции от вещественных параметров системы.

Значения , при которых ПФ обращается в нуль, называются нулями ПФ. Нули являются корнями уравнения

                                                    .

Значения , при которых ПФ обращается в бесконечность, называются полюсами ПФ. Полюсы являются корнями уравнения

                                                    .

Передаточная функция имеет  нулей и  полюсов. Нули и полюса могут быть действительными или комплексно-сопряженными, поэтому их можно изобразить на комплексной плоскости (s -плоскости).

Нули и полюса называются левыми (правыми), если они расположены в левой (правой) части s-плоскости, и нейтральными или нулевыми, если они лежат соответственно на мнимой оси или в начале координат.