Нахождение оригиналов функций по их изображениям

Если изображение функции является дробно-рациональной функцией вида

, то

 вычисление оригиналов можно осуществить несколькими способами:

1 способ - табличный

При невысоком порядке системы удобно использовать для вычисления оригиналов и изображений стандартную таблицу типовых функций и их изображений.

Вещественные корни		Комплексно-сопряжённые корни
ОРИГИНАЛ	ИЗОБРАЖЕНИЕ	ОРИГИНАЛ	ИЗОБРАЖЕНИЕ

2 способ – комбинированный

Разложение на простые дроби методом неопределённых коэффициентов:

Если  правильная рациональная дробь, то можно представить в виде произведения линейных и квадратичных сомножителей с действительными коэффициентами. Корни:

· нулевые() - ; нулевые кратные ;

· действительные() - ; действительные кратные ;

· чисто мнимые () - ;

· комплексно-сопряжённые () - ;

,

 где  и  полиномы, соответствующие кратности знаменателя.

Дробь  приводят к общему знаменателю и приравнивают многочлены числителя правой и левой части, определяют коэффициенты и по таблице оригиналов и изображений получают окончательный результат.

3 способ - аналитический

Вычисление оригиналов проводится по следующим формулам:

1. Корни простые, вещественные:

.                                                   (1)

2 Корни простые, вещественные и один корень нулевой, т.е. .

.                                    (2)

3. Корни комплексно-сопряженные:  (считается для одного корня)                         , если              (3)

4. Корни комплексно-сопряженные и один нулевой:

;                                 (4)

5. Корни кратные:

                 (5)