Звенья второго порядка

Колебательное звено. Имеем уравнение     .

Примеры звеньев приведены на рис. 22.

Рис. 22. Примеры колебательных звеньев:
а - RLC -колебательный контур; б - механическая система (  - масса,  - коэффициент упругости пружины,  - коэффициент демпфирования)

Найдем ПФ. Имеем    

Тогда   

где   или         (при ).

Параметры  и  называются коэффициентом усиления, постоянной времени и коэффициентом демпфирования(колебательности) колебательного звена соответственно.

При различных значениях  имеют место следующие звенья:

· —консервативное или вырожденное колебательное (корни чисто мнимые);

·  — апериодическое 2-го порядка (корни вещественные);

·  — колебательное корни комплексно-сопряжённые).

Рассмотрим колебательное звено.

Найдём корни характеристического уравнения      .

, где

 - частота собственных колебаний звена,

- сопрягающая частота системы.

Вещественная часть корня представляет собой коэффициент затухания переходного процесса; мнимая часть корня – частоту колебаний переходного процесса.

Для получения временных характеристик можно воспользоваться таблицей оригиналов и изображений или соответствующей аналитической формулой.

Запишем выражение для ИПФ колебательного звена (рис. 23).

.

     Перед построением ИПФ определим начальные и конечные значения:

                                     

Рис. 23.ИПФ колебательного звена ()

Определим переходную функцию колебательного звена (рис. 24).

     Перед построением переходной функции определим начальные и конечные значения:

                                     

Рис. 24.Переходная характеристика колебательного звена

при различных значениях

Перейдем к рассмотрению частотных характеристик.

  АФЧХ колебательного звена представлены на рис. 25.

Рис. 25.АФЧХ колебательного звена.

Определим значение АЧХ в контрольных точках:

Амплитудная характеристика плавно уменьшается, если . Если , то на амплитудной характеристике появляется резонансный «горб».

Частота, при которой амплитудная характеристика достигает максимального значения, называется резонансной и определяется формулой

.

Частота  как в случае апериодического звена, так и в случае колебательного звена называется сопрягающей частотой.

ФЧХ имеет вид

Определим значение ФЧХ в контрольных точках:

              Графики  и  изображены на рис. 26.

Рис. 26.АЧХ и ФЧХ колебательного звена для различных значений .

Построим асимптотическую ЛАЧХ:

1. Пусть , тогда в выражении  пренебрегают вторым слагаемым и и характеристика в этой области представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс.

2. Если , то в выражении  во втором слагаемом оставляют только наибольшее слагаемое , тогда .

Характеристика в этой области представляет собой прямую с наклоном -40 дб/дек.

Определим значение функции на частоте сопряжения

На рис. 27 и 28 показаны асимптотическая ЛАЧХ и ЛФЧХ колебательного звена для различных значений .

Рис. 27.ЛАЧХ колебательного звена при различных значениях

Рис. 28.ЛФЧХ колебательного звена при различных значениях

Рассматривая колебательное звено в общем виде, мы получаем в качестве частных случаев ещё 2 типовых звена: консервативное и апериодическое второго порядка.

.

Есть звенья, которые традиционно относятся к типовым и указываются в таблицах, но при этом они не являются простейшими. К ним относятся:

-интегрирующеес замедлением или инерционное интегрирующее;

-дифференцирующее с замедлением (инерционное дифференцирующее);

-интегро- дифференцирующее, если , то звено ближе к интегрирующему; если , то звено ближе к дифференцирующему.

Неминимально – фазовые звенья.

       Важным общим показателем типовых звеньев является принадлежность нулей передаточной функции к левой полуплоскости комплексного переменного.

Пусть имеем: , где

- полюса знаменателя; -нули числителя. Рассмотрим один из сомножителей знаменателя . Звенья, нули и полюса которых лежат в левой полуплоскости, называют минимально-фазовыми. Звенья, передаточные функции которых имеют нули и полюса, лежащие в правой полуплоскости, называются неминимально-фазовыми.