Как сложить две комплексные величины?

Это сделать графически при помощи фазовой диаграммы. Любое комплексное число характеризуется модулем и фазой и его можно представить точкой (или соответствующим радиус-вектором) на комплексной плоскости (не путать с реальным вектором E). Модуль Е как видно из рис 3.1 определяется по теореме косинусов. Окончательная формула имеет вид:

E₀²=E₀₁²+E₀₂²+2 E₀₁ E₀₂ cosDj,        (3.4)

где Dj=j₂-j₁ - разность фаз.

Средняя интенсивность. Излучение электромагнитной волны, как уже упоминалось, связано с колебаниями атомов. Эти колебания не являются строго гармоническими. Атом излучает в течении времени 10^-8 с. Затем фаза j может измениться, например, в результате столкновения. Таким образом изменение интенсивности происходит очень быстро, так, что никоим образом нельзя проследить за ним. И все приборы регистрируют усредненную интенсивность. Учитывая, что I=÷Eê²

                 (3.6)

Мы полагали, что Е₀₁ и Е₀₂ не зависят от времени.

Рассмотрим два случая:

а) j₂-j₁ ¹ const и меняется произвольным образом. С одинаковой вероятностью cos(j₂-j₁) принимает положительные и отрицательные значения и его среднее значение за время наблюдения будет равным нулю < cos(j₂-j₁)> = 0

Рис. 3.4

Тогда из (6) следует, что I=I₁+I₂. Происходит простое сложение интенсивностей двух световых волн.

б) j₂-j₁ = const. Колебания считаются когерентными.

                       I=I₁+I₂+2 ÖI₁I₂ cos(j₂-j₁) ¹ I₁+I₂                                     (3.7)

Значение интенсивности может быть как больше, так и меньше суммы I₁ + I_2. Говорят, что происходит интерференция волн.

Максимум будет наблюдаться, когда Dj= 0, 2p, 4p,..., 2np;

минимум - если Dj= p, 3p,..., (2n+1)p.

Определение: Явление взаимного усиления или гашения двух или более когерентных электромагнитных волн при их сложении в пространстве называется интерференцией

Опыт Юнга.

Рис.3.5. Опыт Юнга.

До сих пор мы рассматривали интерференцию как теоретическое сложение колебаний. Как же она реализуется практически? Классическим экспериментом по наблюдению интерференции является опыт Юнга. Когерентное излучение освещает два малых отверстия. На каждом отверстии свет дифрагирует, т.е. оно служит точечным источником и дает сферическую волну. В точку А приходят два возмущения от отверстий О₁ и О₂

Первая волна проходит путь L₁, вторая L₂. Если в точках О₁ и О₂ фазы колебаний равны w t, то первая волна возбудит в точке А колебание: E₁=E₀₁e^iw(t-l₁/v₁⁾, а вторая: E₂=E₀₂e^iw(t-l₂/v₂)

Определение: Геометрическая разность хода двух волн D_геом равна разности расстояний, проходимых второй волной и первой соответственно.

                                                                       D _геом = L₂-L₁                                           (3.8)

Определение: Оптической разностью хода называется разность оптических путей

D _опт=n₂L₂ -n₁L₁ или в общем случае                        (3.9)

Связь разности фаз и разности хода:                                          (3.10)

Разность фаз D j следовательно будет равна:

                             (3.11)

Подсчитаем разность хода, когда волны распространяются в одной среде (n₁=n₂)

                                     

                                     

                                      l₂² - l₁²= -2dx

                                      l₂² - l₁² = (l₂ - l₁)(l₂ + l₁) =2(l₂ - l₁)l

                                      D l = -dx/l» xa                                                  (3.12)

                                                                                   (3.13)

Посмотрим как изменяется интенсивность интерференционной картины в плоскости наблюдения:

Рис. 3.6

          (3.14)

Эта функция представлена на рисунке:

Выводы:

а) B максимумах интенсивность в 4 раза больше, чем интенсивность каждой волны. Нарушается ли закон сохранения энергии? Нет! Происходит ее перераспределение, а в сумме вся энергия сохраняется.

б) Период интерференционной картины:

Условие max:                    ,

                                          где m=1,2,3,...

Условие min :              

Период:     T = x_{max n+1} - x_{max n} = l₀d/l =l_0/a. Более точные вычисления дают, что не только при малых, а для произвольных углов схождения волн период интерференционной картины (или ширина интерференционных полос) определяется

                                                                                                                           (3.15)

Вывод: Чем меньше a, тем больше период. Мы получили важное следствие, что период определяется углом между интерферирующими плоскими волнами.

 

Пример: Если мкм, а sin a= 0,0005, то =1мм, т.е. для наблюдения полос с периодом 1мм надо расположить экран на расстоянии 1м, а размер между отверстиями сделать всего 0,5мм (толщина пяти волос). Увеличив расстояние вдвое, мы уменьшим период полос до 0,5 мм и наблюдать их невооруженным глазом будет труднее.

В других случаях полосы не имеют вида прямых полос и интерференционная картина может носить весьма замысловатый характер.

Когерентность.

Временная когерентность: Рассмотренная выше интерференция монохроматических волн типа E=E₀e^i(wt-kr+j) - это идеализация. Вернемся к общей интерференционной формуле

                                                        (3.16)

Всякий прибор, воспринимающий интерференционную картину, обладает некоторой инерционностью. Глаз ~ 0.1с, т.е. он реагирует на интерференционную картину за время t_{прибора} необходимое для срабатывания прибора. Если фаза D j(t) за это время многократно меняется от -p до p, то среднее значение интерференционного члена будет равно 0. Поэтому в каждой точке регистрируемая интенсивность будет равна сумме I₁ + I₂ и волны будут не когерентны.

Если за время t_{прибора} значение D j(t) остается практически неизменным то прибор обнаружит интерференцию.

Таким образом понятие интерференции (и когерентности волн) будет относительным. Две волны могут быть когерентными в течении короткого времени и не когерентны для больших интервалов. Для того, чтобы отделить их, вводится понятие t_ког.

Определение: Время когерентности t_ког- это время, за которое случайное изменение фазы волны  достигает 2p

Определение: Расстояние на которое перемещается волна за время t_ког называется длиной когерентности или длиной цуга l= c t_ког.

Рис.3.8 Реальная волна, колебания не поляризованы и изменяются случайным образом.

Это понятие тоже относится к временной когерентности.

Чтобы лучше усвоить понятие когерентности, выясним, чем реальная волна отличается от идеальной.

Рис.3.9 Идеальная поляризованная монохроматичная волна. Точка А смещается с течением времени вдоль оси со скоростью v.

В реальной волне в разных точках вектор Е может принимать разные значения и направления, лишь бы он оставался перпендикулярен лучу, - такое излучение неполяризовано и немонохроматично (рис.3.8). В естественном свете колебания вектора E в различных направлениях быстро и беспорядочно сменяют друг друга.

Идеальная монохроматическая волна. Ограничимся для начала рассмотрением простейших гармонических волн, у которых вектор Е меняется по закону

                      (3.17)

Такое выражение описывает плоско- (или линейно) поляризованную волну, у которой колебания вектора Е происходят только в одной плоскости, проходящей через луч (рис.3.9).

Сложение двух волн с частотами w₁ и w₂ можно описать выражением

.                    (3.18)

Закономерности поведения суммарной волны рассмотрим на примере частного случая сложения двух волн с одинаковой амплитудой E ₀₁ = E ₀₂. Для сокращения обозначим фазу первой волны j₁,   а второй - j₂. Тогда (4) можно преобразовать следующим образом

E = E₀₁ e ^i(j1+j2)/2 (e ^-i(j2-j1)/2 + e ^i(j2-j1)/2) = E₀₁ 2 cos ((j₂-j₁)/2) e ^i(j1+j2)/2    (3.19)

Подставляя значения j₁  и j₂, получим, что в начале координат с течением времени вектор E будет меняться по закону

E = 2E₀₁ cos (Dwt/2) e ^iwt,                                          (3.20)

где Dw = w₂ -w₁ - разность частот, а w = (w₂ +w₁)/2 - средняя частота колебаний. При условии Dw<< w суммарную волну можно рассматривать как волну E₀e^iwt с эффективной частотой колебаний w (высокая несущая частота), у которой меняется амплитуда колебаний E₀ = E₀₁ 2cos(Dwt /2). Другими словами амплитуда колебаний модулируется низкой частотой Dw. Колебания вектора E изображены на рис.3.10. В результате суммирования энергия из одних областей перекачивается в другие, т.е. концентрируется в так называемых цугах. Здесь уместно провести полную аналогию со стационарной интерференцией, при которой в различных областях пространства возникают области с увеличенными колебаниями (максимумы интенсивности) и с уменьшенными (минимумы). Период отдельного цуга T=2p/Dw гораздо больше периода колебаний T₀=2p/w.

Рис.3.10. Суммирование двух волн вызывает биения - идущие друг за другом связанные цуги волн.

Рис.3.11 a,b

В заключении подчеркнем, что спектр волны изображенной на рис.3.10 состоит из двух близко расположенных спектральных линий. Следовательно, если в идеальной монохроматической волне мы будем менять интенсивность колебаний, пропуская ее через модулятор, то будет меняться и ее спектральный состав.

Формула (3.7) справедлива для любого соотношения частот. Однако суммарную волну при другом соотношении частот нельзя наглядно представить как высокочастотную несущую и плавно меняющуюся амплитуду. Характер сложения двух волн получается совершенно иным, если указанное условие не соблюдается. На рисунке 3.11 а,в представлены примеры сложения двух волн, частоты которых отличаются в несколько раз.

Задание1: случаи сложения колебаний с кратными частотами (ангармонические колебания) проанализировать самостоятельно. Определить период суммарной волны.

Реальная волна не может быть описана выражением (3.2), хотя бы по той причине, что описывает синусоиду длящуюся бесконечно долго. Реальные волны длятся конечное время и занимают в пространстве конечный объем. Однако реальная конечная световая волна может быть представлена суммой волн вида (3.2) с различной частотой.

Рис.3.12. Изменение вектора Е в волновом пакете.

Волновой пакет. Сложение многих волн (3.2) с частотами, заключенными в некотором интервале Dw<<w₀  образует группу волн (пакет) изображенный на рис.3.12. Такой пакет хорошо моделирует отдельные куски реальной волны.

Аналитическое выражение для группы волн имеет вид

E (x,t) =                            (3.21)

С изменением времени график также смещается вдоль оси ox. В пределах пакета плоские волны в большей или меньшей степени усиливают друг друга, вне пакета они практически полностью гасят друг друга.

Вывод: Любая реальная волна имеющая конечную полуширину спектра, занимает в пространстве конечный интервал и представима в виде цуга.

Рис. 3.13

Соответствующий расчет дает, что чем меньше ширина пакета Dx, тем больший интервал частот Dw или соответственно больший интервал волновых чисел Dk требуется для того, чтобы описать пакет с помощью выражения (3.21). Имеет место соотношение Dk * Dx = 2 p.

В математике, в области называемой Фурье - анализом, доказывается и обратное, что любую функцию E (t) можно представить в виде суммы бесконечно большого числа гармонических составляющих в соответствии с формулой (3.21)

Пример. Пусть E(t) - представляет собой "обрывок" синусоиды от -t/2 до t/2 (рис. 3.13). Время t может считаться временем когерентности.

Найдем E (w) для E (t) приведенного на графике:

Эта функция существенно отлична от нуля в диапазоне . Время t в течение которого длятся колебания и которое можно считать временем когерентности связано с полушириной спектра Dw.

Рис.1.14. Длина когерентности определяется длиной цуга.

Данное явление мы рассматриваем в недиспергирующей среде, когда все плоские волны, образующие пакет, распространяются с одинаковой фазовой скоростью v. Очевидно, что в этом случае скорость движения пакета совпадает с v и форма пакета со временем не изменяется. В недиспергирующих средах скорость световых волн не зависит от длины или частоты волны. Следует подчеркнуть, что для того, чтобы суперпозицию волн, описываемую выражением (3.21), можно было считать группой волн, необходимо соблюдение условия Dw<<w₀.

Когерентность. Для электромагнитной волны существует важная характеристика, которая показывает, насколько излучение близко к идеальной волне и насколько отдельные цуги связаны между собой. С качественной точки зрения эта величина - когерентность - показывает, насколько согласованы колебания в моменты времени t₁ и t₂ в двух точках x₁ и x₂. Когерентность имеет и строгую математическую (количественную) характеристику - степень когерентности g. Для знакомых со статистическим анализом упомянем, что g (x₁,x₂,t₁,t₂) - это нормированная корреляционная функция амплитуды. Поясним физический смысл g. Если вектор Е в точке (x₂,t₂) можно абсолютно строго вычислить, зная Е(x₁,t₁), например, пользуясь законом (3.2), то говорят, что колебания полностью согласованы или когерентны, а g = 1. Если колебания в точках (x₂,t₂) и (x₁,t₁) независимы, т.е. никак не согласованы и никаким законом не связаны, то g = 0. Говорят, что колебания полностью некогерентны. Мы рассмотрели крайние случаи.

Определение: Когерентностью называется согласованное протекание нескольких колебаний или волновых процессов. Степень согласованности может быть различной, т. е. колебания могут быть полностью когерентными, а могут иметь какую-то промежуточную степень когерентности. Количественно когерентность характеризуется степенью когерентности g которая изменяется от 0 до 1.

 

Что же происходит в реальной волне? Рассмотрим волну, распространяющуюся вдоль оси ox (рис.1.14). Если точка x₂ находится близко к точке x₁ (например, на расстоянии меньше длины волны), то зная закон изменения вектора Е в x₁ можно определить и закон изменения в x₂. По мере удаления точки ситуация будет меняться. Для точки с координатой x₃, мы можем вычислить значение вектора Е только с какой-то вероятностью. Колебания частично когерентны, а g < 1. А для точки x₄ колебания уже будут совершенно независимы. Расстояние, на котором функция g уменьшается вдвое, называется длиной когерентности l_ког или длиной цуга волн. Совершенно аналогично можно провести и рассуждения для времени. На графике по оси абсцисс будет откладываться не координата, а время. Вместо точек x₁, x₂, x₃, x₄ будут рассматриваться моменты времени t₁, t₂, t₃, t₄. Время, за которое исчезает связь между колебаниями, называется временем когерентности t_ког. И время, и длина когерентности характеризуют продольную, или временную, когерентность. Этот термин отражает тот факт, что точки x₁, x₂ располагаются вдоль направления распространения волны. Между l_ког и t_ког существует простая связь l_ког = сt_ког. Действительно, за время t_ког пока колебания когерентны, волна распространится из точки x₁, на расстояние l_ког = сt_ког, и на этом пространственном отрезке колебания будут связаны.

Задание2. В интерферометре Майкельсона используется источник света, который излучает свет с длиной когерентности l_ког. Установить, какое соотношение должно быть между l_ког и разностью хода волн в интерферометре, чтобы наблюдалась интерференционная картина?

Спектр. Когерентность излучения тесно связана с его спектральным составом (степенью монохроматичности). Рассмотрим как изменяется спектр волны для рассмотренных выше примеров при переходе от идеальной мо

нохроматической волны к реальной.

		Идеальная монохроматичная волна имеет в спектре только одну компоненту на частоте w0
		При изменении частоты волны меняется и спектр. На рис w1 >w0
		Волна, изменение вектора Е в которой можно описать биениями, имеет спектр состоящий уже из двух компонент (гармоник)
		Отдельный цуг волн имеет непрерывный спектр, состоящий из бесконечно большого числа бесконечно близко расположенных гармоник.
		Изменение длины цуга приводит к изменению ширины спектра.

Из таблицы видно, что уменьшение (увеличение) длины когерентности вызывает уширение (сужение) спектра излучение. Анализируя равенство (3.21) можно получить общее соотношение Dw = 2p / t_ког.

Интенсивность. Во всех приложениях измеряемой величиной является не вектор E, а интенсивность волны. Интенсивность I прямо пропорциональна квадрату модуля вектора E, т.е. определяется амплитудой колебаний:

                               I = ½E½²                                       (3.22)

Применение фурье-синтеза и фурье-анализа. Задача сложения волн (Фурье-синтез) имеет важное значение в технике для построения волн заданной формы, длительности, с заданным законом колебаний. Она может быть использована для кодирования информации (модуляции), синтеза речи, концентрации энергии (компрессии импульсов) и т.д. Не меньшее значение имеет и обратная задача - Фурье-анализ - когда волна сложной формы раскладывается на элементарные гармонические составляющие. Подобный анализ позволяет определить характеристики излучателя и рассеивателя: скорость движения, коэффициенты диффузии, частоты колебаний и многие другие характеристики. На Фурье-анализе основаны такие дисциплины, как спектроскопия сверхвысокого разрешения (спектроскопия оптического смешения), лазерная анемометрия (измерение скоростей) и многие другие диагностические методы.