Поточечная и равномерная сходимость функциональных рядов

Определение 1. Функциональный ряд сходится в точке , если числовой ряд является сходящимся. Совокупность таких точек (точек сходимости) называется множеством сходимости (или областью сходимости) ряда. Говорят ещё, что ряд поточечно сходится на множестве . (Отметим, что может быть совершено произвольным подмножеством числовой прямой.)

Пусть − полная сума, n -я частичная сумма и n -й остаток ряда. . Поточечная сходимость ряда на множестве означает, что в каждой точке .

Определение 2. Ряд равномерно сходится на множестве , если . Это означает другими словами, что последовательность частичных сумм равномерно сходится к сумме ряда или Ã (т.к. ).

Ясно, что из равномерной сходимости следует поточечная сходимость на этом множестве, Обратная импликация не верна.

Контрпример.Рассмотрим на отрезке

последовательность функций

или ряд

.В этом примере

. Однако

, следовательно,

Критерий Коши равномерной сходимости ряда. Ряд равномерно сходится на множестве тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Необходимость условия Коши сразу следует из равенства .

Предположим теперь, что условие Коши выполнено. Тогда последовательность поточечно фундаментальна и, следовательно, имеет поточечный предел, скажем . Кроме того, в силу условия Коши , существует номер такой, что
будет всюду на множестве . Переходя к поточечному пределу , видим, что всюду или .
Таким образом, Ã .

Следствие (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда). Если функциональный ряд мажорируется на множестве сходящимся числовым рядом (т.е. ), то данный функциональный ряд равномерно сходится .

Доказательство. Если и при всех значениях , а ряд сходится, то . Поэтому .
В таком случае согласно критерию Коши ряд равномерно сходится на множестве .