2018-02-13
520
1˚. Теорема (Признак Лейбница). Пусть 
знакопеременный ряд, то есть 
, и пусть 
убывает и стремится к нулю 
.. В таком случае данный ряд сходится, при этом 
и 
.
Доказательство. Если 
, то 
, следовательно, 
. Если же 
, то 
. В любом случае, 
заключено между нулём и 
. Потому сумма 
заключена между числами 
. Сходимость ряда следует из критерия Коши. Переходя к пределу 
, видим, что остаток 
заключен между числами 
.
Ч и т.д.
Замечание. Из доказанной теоремы следует, в частности, сходимость “ряда Лейбница” 
, с которым мы встречались в §1.
2˚. Теорема. Если ряд 
сходится, то сходится и ряд 
. Обратное утверждение не верно.
Доказательство. Сходимость ряда сразу следует из критерия Коши для рядов ввиду неравенства 
. Контрпримером здесь может служить ряд Лейбница, который, как мы знаем, сходится, в то время как ряд из модулей его членов, т.е. гармонический ряд 
, расходится.
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его членов. Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но не абсолютно.
3˚. Приведём без доказательства два свойства, демонстрирующие преимущества абсолютно сходящихся рядов.
- В абсолютно сходящемся ряде можно производить любые перестановки его членов (т.е. перестановки не меняют сумму ряда).
· Два абсолютно сходящихся ряда можно почленно перемножить (как многочлен на многочлен). При этом суммы рядов также перемножаются.
Замечание. Легко доказать следующее утверждение (теорема Римана):
Если ряд условно сходится, то с помощью подходящей перестановки его членов сумму этого ряда можно сделать равной любому конечному числу или даже 
.
