Разложение функций в степенной ряд. Ряд Тейлора

Теорема о единственности степенного разложения. Если , то и, следовательно, (ряд Тейлора).

Доказательство. Повторно дифференцируя исходное тождество, получаем

.. Поэтому . Ч и т.д.

Как мы уже знаем, для представимости функции в виде суммы степенного ряда на интервале необходимо, чтобы эта функция была там бесконечно дифференцируемой. Это условие, однако, не является достаточным.

Контрпример. Пусть . Нетрудно доказать, что , в частности, . В то же время, невозможно представить в виде , иначе было бы , что неверно, так как .

Сформулируем теперь достаточное условие представимости функции рядом Тейлора. Введём для этого величины .

Теорема. Если последовательность чисел ограничена, то

на отрезке .

Пользуясь этой теоремой и конечной формулой Тейлора для функций и , получаем разложения в ряд Тейлора этих функций на всей числовой оси:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) .

Немного сложнее обосновать разложения:

6) ; 7) ;

8) .

В последнем разложении используется обозначение .

Некоторые приложения степенных рядов.

Пример 1. Вычислить суммы рядов (ряд Лейбница) и .

Решение. Если подставить в обе части разложений 6) и 7), то сразу же получим

Дополнение. Ряды из примера 1 непригодны для вычислений, они слишком медленно сходятся. Так, остаток ряда убывает со скоростью и для вычисления с точностью необходимо просуммировать 1000 членов ряда. Покажем на том же примере, что метод степенных рядов может давать отличные результаты, если алгоритм вычислений немного усовершенствовать. Снова обратимся к табличному разложению 6). Это даёт нам :

Следовательно, . Замена приводит к тождеству . Здесь и если , то .

Поэтому . Этот ряд сходится гораздо быстрее.

Сейчас .

В частности, , а потому с точностью будет . Отбрасывая ненадёжные знаки, получаем . Для уменьшения погрешности вычислений нужно увеличить количество учитываемых членов ряда. Так, например, , поэтому с точностью .