Сходимость степенных рядов. Действия со степенными рядами

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

. (1)
Числа  называются коэффициентами ряда (1), число  − центром сходимости.

Первая теорема Абеля о степенных рядах. Если ряд (1) сходится , то он сходится при всех значениях , более близких к центру сходимости  (т.е. сходится ).

Доказательство. По условию ряд сходится. Согласно необходимому условию сходимости ряда, последовательность его членов стремится к нулю а, значит ограничена. Это означает, что существует  большее, чем все величины , т.е. .

Выберем произвольное положительное число . Для любого , для которого , справедливо неравенство , где . Признак сравнения показывает, что при любом таком значении  ряд (1) сходится.

Замечание. Мы доказали несколько больше: на отрезке  ряд (1) мажорируется рядом .

Следствие. Существует  такое, что ряд (1) сходится  и расходится . (Такое  называется радиусом сходимости степенного ряда (1), а промежуток  − интервалом сходимости.)

Доказательство. Теорема Абеля показывает, что таким числом является , где  − область сходимости ряда (1), т.е. множество значений , при которых ряд сходится.

Теорема. Если существует предел , то справедлива формула  (здесь подразумевается, что  и ).

Доказательство. Внутри интервала сходимости степенной ряд абсолютно сходится, поэтому нам придётся исследовать ряд (1) на абсолютную сходимость. Применяем признак Даламбера. Так как , то ряд  сходится, когда , и расходится, когда . Поэтому  если .

Доказательство упрощается в случае, когда  (в первом случае , во втором ― .)

Замечание. В доказанной формуле предел  можно заменить . Самый общий случай описывается формулой , где  (формула Коши – Адамара).

Пример. Найти область сходимости рядов 1) , 2) , 3)  4) .

Решение. Во всех четырёх случаях интервал сходимости это − , так как . В первом из примеров ряд расходится в обеих концевых точках этого интервала. Во втором − сходится в точках . В третьем примере ряд сходится только в левом конце, а в четвертом примере − только в правом.

Следствие формулы Коши - Адамара. При формальном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не изменяется.

Доказательство. После формального дифференцирования и интегрирования ряда  получим два новых степенных ряда . Если существует предел

, то . Поэтому

.

Это равенство легко обобщается на общий случай.

Теорема. Внутри интервала сходимости степенной ряд допускает почленное интегрирование и почленное дифференцирование. В частности, у суммы ряда есть производная и она равна сумме производных от членов ряда.

Доказательство. Это утверждение является следствием того факта, что по теореме Абеля степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости, и теорем о почленном интегрировании и дифференцировании общих функциональных рядов.

Следствие. Внутри интервала сходимости сумма степенного ряда является бесконечно дифференцируемой функцией.

Вторая теорема Абеля о степенных рядах. Если степенной ряд  сходится в конце интервала сходимости, то его сумма  односторонне непрерывна в этой конечной точке.

*Доказательство. Пусть, например, ряд сходится в точке , где  − радиус сходимости степенного ряда и пусть . Тогда ,

где , . По условию теоремы ряд  сходится, а так как это − ряд с постоянными членами, то он равномерно сходится. Что же касается , то при любом  − монотонная последовательность и .

По теореме Абеля из §4 рассматриваемый ряд равномерно сходится на отрезке . Теорема о непрерывности суммы ряда из §5 показывает, что функция  непрерывна , в частности, эта функция непрерывна справа в точке .