2018-02-13
534
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
. (1)
Числа 
называются коэффициентами ряда (1), число 
− центром сходимости.
Первая теорема Абеля о степенных рядах. Если ряд (1) сходится 
, то он сходится при всех значениях 
, более близких к центру сходимости (т.е. сходится 
).
Доказательство. По условию ряд 
сходится. Согласно необходимому условию сходимости ряда, последовательность его членов стремится к нулю а, значит ограничена. Это означает, что существует 
большее, чем все величины 
, т.е. 
.
Выберем произвольное положительное число 
. Для любого 
, для которого 
, справедливо неравенство 
, где 
. Признак сравнения показывает, что при любом таком значении 
ряд (1) сходится.
Замечание. Мы доказали несколько больше: на отрезке 
ряд (1) мажорируется рядом 
.
Следствие. Существует 
такое, что ряд (1) сходится 
и расходится 
. (Такое 
называется радиусом сходимости степенного ряда (1), а промежуток 
− интервалом сходимости.)
Доказательство. Теорема Абеля показывает, что таким числом является 
, где 
− область сходимости ряда (1), т.е. множество значений 
, при которых ряд сходится.
Теорема. Если существует предел 
, то справедлива формула 
(здесь подразумевается, что 
и 
).
Доказательство. Внутри интервала сходимости степенной ряд абсолютно сходится, поэтому нам придётся исследовать ряд (1) на абсолютную сходимость. Применяем признак Даламбера. Так как 
, то ряд 
сходится, когда 
, и расходится, когда 
. Поэтому 
если 
.
Доказательство упрощается в случае, когда 
(в первом случае 
, во втором ― 
.)
Замечание. В доказанной формуле предел 
можно заменить 
. Самый общий случай описывается формулой 
, где 
(формула Коши – Адамара).
Пример. Найти область сходимости рядов 1) 
, 2) 
, 3) 
4) 
.
Решение. Во всех четырёх случаях интервал сходимости это − 
, так как 
. В первом из примеров ряд расходится в обеих концевых точках этого интервала. Во втором − сходится в точках 
. В третьем примере ряд сходится только в левом конце, а в четвертом примере − только в правом.
Следствие формулы Коши - Адамара. При формальном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не изменяется.
Доказательство. После формального дифференцирования и интегрирования ряда 
получим два новых степенных ряда 
. Если существует предел
 , то  . Поэтому
|  .
|
Это равенство легко обобщается на общий случай.
Теорема. Внутри интервала сходимости степенной ряд допускает почленное интегрирование и почленное дифференцирование. В частности, у суммы ряда есть производная и она равна сумме производных от членов ряда.
Доказательство. Это утверждение является следствием того факта, что по теореме Абеля степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости, и теорем о почленном интегрировании и дифференцировании общих функциональных рядов.
Следствие. Внутри интервала сходимости сумма степенного ряда является бесконечно дифференцируемой функцией.
Вторая теорема Абеля о степенных рядах. Если степенной ряд 
сходится в конце интервала сходимости, то его сумма 
односторонне непрерывна в этой конечной точке.
*Доказательство. Пусть, например, ряд сходится в точке 
, где 
− радиус сходимости степенного ряда и пусть 
. Тогда 
,
где 
, 
. По условию теоремы ряд 
сходится, а так как это − ряд с постоянными членами, то он равномерно сходится. Что же касается 
, то при любом 
− монотонная последовательность и 
.
По теореме Абеля из §4 рассматриваемый ряд равномерно сходится на отрезке 
. Теорема о непрерывности суммы ряда из §5 показывает, что функция 
непрерывна 
, в частности, эта функция непрерывна справа в точке 
.
