Площадь искривленной поверхности

Предположим, что поверхность  задана явным уравнением , где .

Угол  между касательной плоскостью к поверхности  и плоскость XOY равен углу между нормальным вектором  и ортом . Поэтому , а связь между площадью элемента касательной плоскости  и

площадью его проекции  на  плоскость XOY выглядит следующим образом:

 

или . Рассмотрим теперь площадь “описанного многогранника” .

Определение. Если существует предел  суммы  при условии, что мелкость разбиения  стремится к нулю, будем считать этот предел площадью поверхности . Ясно, что .

Пример. Найти площадь  части параболоида вращения , отсекаемой плоскостью .

Решение. = .

2˚. Физические приложения кратных интегралов.

Массу тела  можно найти по формуле , где  объёмная плотность материала, массу пластины − по формуле  (на этот раз  − поверхностная плотность). Точно так же, заряд  можно вычислить, интегрируя объёмную (поверхностную) плотность распределения заряда.

Центр масс: , здесь  − снова масса тела .

Напряженность в точке  гравитационного поля, создаваемого массой, распределённой с плотностью , равна , где  − гравитационная постоянная. Потенциал гравитационного поля равен .

Моменты инерции: , ,  и т.д.

Пример. Доказать, что однородный шар притягивает материальную точку, находящуюся вне шара, так, как если бы вся масса шара была сосредоточена в его центре.

Решение. Если расположитьшар и точку  так, как показано на рисунке, будет . Вычислим , считая, что .

. Сделаем во внутреннем интеграле следующую замену: . При этом будет , ; . , где  − масса шара.

Понятие о несобственных кратных интегралах*.

Мы не станем здесь углубляться в теорию, а рассмотрим лишь один пример: .

Мы можем определить его как предел частичного интеграла разными способами. Например,

 или .

1. = .Следовательно, .

2. Так как подынтегральная функция положительна, то интеграл возрастает с расширением области.

Поэтому . Следовательно, . Воспользуемся этим, результатом для вычисления  интеграла Пуассона .

Имеем . Поэтому .

Отметим, что для теории вероятностей и других дисциплин важным является следствие этой формулы .

Формула Грина (связь криволинейного интеграла на плоскости с двойным).

1˚. Криволинейный интеграл по координатам.

Пусть  − кривая, заданная параметрическими уравнениями , ; и пусть  − функции, определенные в точках этой кривой. Рассмотрим разбиение отрезка  точками , выберем промежуточные значения  и обозначим  току кривой  с координатами . Составим интегральную сумму  (здесь , а  и т.д.).

 

Определение. Если существует предел , где , то он называется криволинейным интегралом по координатам и обозначается .

Для вычисления криволинейного интеграла следует превратить его в определённый интеграл с помощью “замены переменной”. Точнее, справедлива

Теорема. Если  − гладкая кривая, а функции  непрерывны вдоль этой кривой, то существует криволинейный интеграл, при этом , где .

Помимо обычных свойств интеграла, вроде аддитивности по дуге и линейности, справедливо ещё одно: интеграл вдоль границы области, является аддитивной функции самой области.

Поясним формулировку нового свойства рисунком. В изображенной на рисунке конфигурации интегралы по дугам AB и BA взаимно уничтожатся.

 

Формула Грина.

Теорема. Пусть  − область на плоскости , граница которой  − замкнутая кусочно-гладкая кривая, и пусть функции  и  непрерывно дифференцируемы в замкнутой области . В таком случае справедливо равенство:

. (1)
Здесь означает интегрирование вдоль замкнутой кривой, которая обходится против направления движения часовой стрелки.

Доказательство.

1. Выведем сначала формулу (1) в том случае, когда область  является простой
(т.е. сечения области координатными прямыми содержат не более одного отрезка).

а) Так как  простая, то.

С другой стороны, . Следовательно, .

б) Точно так же доказывается, что . Складывая два полученных равенства, приходим к формуле (1).

2. Покажем на примере кругового кольца , что формула Грина верна и для областей, которые можно разбить на несколько простых областей.

 

Каждая из частей , на которые разрезано кольцо, является простой, поэтому , . Сложим эти четыре равенства. Сумма левых частей равна . Сумма правых частей равна . Это показывает, что формула Грина верна для кольца .

 

 

Глава 8. Ряды.