Три теоремы о равномерной сходимости

Теорема 1. (О непрерывности предела последовательности). Если последовательность непрерывных на отрезке функций равномерно сходится , то непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Для любого найдётся номер такой, что .

По теореме Кантора (Гейне) функция

равномерно непрерывна на отрезке

, следовательно, существует такое

, что для любых

, для которых

, будет

. Поэтому

будет

Отсюда следует равномерная непрерывность функции .

Следствие. (О непрерывности суммы ряда). Если все члены ряда непрерывны и ряд равномерно сходится на этом отрезке, то сумма ряда также непрерывна .

Теорема 2. (О почленном интегрировании последовательностей). Если последовательность непрерывных на отрезке функций равномерно сходится , то, предел интеграла равен интегралу от предела, точнее,

Ã на отрезке .

Доказательство. Утверждение теоремы следует из оценки

Следствие. (О почленном интегрировании рядов). Если все члены ряда непрерывны и ряд равномерно сходится на этом отрезке, то этот ряд можно почленно проинтегрировать по отрезку , .

Теорема 2. (О почленном дифференцировании последовательностей). Пусть выполнены следующие условия:

все функции непрерывно дифференцируемы ,
последовательность функций равномерно сходится ,
числовая последовательность сходится.

В таком случае последовательность тоже равномерно сходится к функции , при этом , т.е. производная предела равна пределу производной.

Доказательство. Из теоремы 2. и тождества следует равномерная сходимость последовательности и равенство .

Теорема 1. показывает, что функция непрерывна , поэтому, дифференцируя последнее равенство, видим, что и что .

Следствие. (О почленном дифференцировании рядов). Рассмотрим функциональный ряд . Пусть все − непрерывно дифференцируемые функции, пусть ещё ряд из производных равномерно сходится , а сам ряд сходится в точке . В таком случае данный ряд равномерно сходится , его сумма принадлежит классу . Кроме того, этот ряд допускает почленное дифференцирование, т.е. производная суммы ряда равна сумме производных его членов .