Основные определения. Свойства сходящихся рядов

1˚. Теория бесконечных числовых рядов имеет много общего с теорией несобственных интегралов с бесконечным верхним пределом.

Определение 1. Рассмотрим бесконечный ряд . Его частичнойсуммой называется сумма первых членов данного ряда, то есть . Ряд называется остаточным рядом.

Определение 2. Если существует конечный предел частичной суммы , то этот предел называется суммой ряда, а сам ряд считается сходящимся. В противном случае говорят, что ряд расходится. Сумма остаточного ряда называется остатком ряда.

Предложение 1. Если ряд сходится, то сходится любой из его остаточных рядов. При этом .

Предложение 2. (Критерий Коши для рядов). Для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы его усечённый остаток стремился к нулю, когда (условие Коши).

Доказательство. Так как, , то остаётся применить критерий существования конечного предела к последовательности .

Предложение 3. (Необходимое условие сходимости). Если ряд сходится, то . Обратное утверждение не верно.

Доказательство. Необходимость условия является следствием равенства .
Для того, чтобы убедиться в его недостаточности, рассмотрим так называемый гармонический ряд: . Ясно, что . В то же время . Так как нарушено условие Коши, то ряд расходится.

2˚. Свойства сходящихся рядов.

1. (Линейность суммы ряда). Пусть даны сходящиеся ряды и . В таком случае при любых ряд также сходится и его сумма равна .

2. Если в сходящемся ряде ввести парные скобки, то сумма ряда не изменится. Отбрасывать скобки, вообще говоря, нельзя.

Контрпример. Ряд сходится и его сумма равна нулю, а ряд без скобок расходится, так как для него не выполнено необходимое условие сходимости.

3. Если произвести перестановку, затрагивающую конечное число членов ряда, то это не повлияет ни на сходимость, ни на сумму ряда. Это уже неверно для бесконечных перестановок членов ряда.

Контрпример. Рассмотрим ряд Лейбница . В одной из ближайших лекций будет доказано, что этот ряд сходится. Обозначим сумму этого ряда. Рассмотрим
переставленный ряд . Легко доказать, что и этот ряд сходится. Сумма нового ряда равна