Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Определение. Линейным однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида

,

где  – действительные (вещественные) постоянные.

Особенность этого уравнения: искомая функция  и ее производные входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Определение. Характеристическое уравнение, соответствующее однородному дифференциальному уравнению -го порядка имеет вид

(1)

и получается из исходного уравнения следующим образом: где коэффициенты  сохраняются,  заменяется единицей, а все ее производные заменяются соответствующими степенями .

Определение. Система функций  называется линейно зависимой на отрезке , если существуют постоянные , не все равные нулю и такие, что имеет место тождество

.

Если же тождество имеет место только при , то данные функции линейно независимыми на отрезке .

Определение. Вронскиан системы функций  имеет вид

.

Определение. Совокупность линейно независимых частных решений линейного однородного дифференциального уравнения  определяет фундаментальную систему решений на , если ни в одной точке этого отрезка вронскиан не обращается в нуль, т. е.  на отрезке .

Способ решения. Общее решение линейного однородного уравнения -го порядка имеет вид , где вид  зависит от корней характеристического уравнения.

При этом:

1) каждому вещественному корню  уравнения (1) кратности  соответствуют  частных решений ;

2) каждой паре комплексно-сопряженных корней  уравнения (1) кратности  соответствуют  пар частных решений:

Этих частных решений будет ровно столько, какова степень характеристического уравнения (т.е. столько, каков порядок данного линейного дифференциального уравнения).

Пример 1. Решить уравнение .

Решение:

1) Запишем характеристическое уравнение . Решим его.

, , следовательно, уравнение имеет два различных вещественных корня:

, , , .

2) Найдем частные решения исходного уравнения, соответствующие найденным корням.

Корню  кратности  соответствует одно частное решение , корню  кратности  соответствует тоже одно частное решение .

3) Тогда общее решение уравнения имеет вид , где  и  – произвольные постоянные.

Ответ: Общее решение: .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение:

1) Запишем характеристическое уравнение . Решим его.

,

 или ,

, следовательно, уравнение имеет два различных комплексно-сопряженных корня:

.

2) Найдем частные решения исходного уравнения, соответствующие найденным корням.

Корню  кратности  соответствует одно частное решение , паре комплексно-сопряженных корней  кратности  соответствует одна пара частных решений: , .

 

3) Тогда общее решение уравнения имеет вид

.

Ответ: Общее решение: .

Пример 3. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , , .

Решение:

1) Запишем характеристическое уравнение . Решим его.

, ,

 или ,

Уравнение имеет один вещественный корень  и два вещественных корня .

2) Найдем частные решения исходного уравнения, соответствующие найденным корням.

Корню  кратности  соответствует одно частное решение , а корню  кратности  соответствуют два частных решения  и .

Тогда общее решение уравнения имеет вид  или .

3) Найдем теперь частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям.

Найдем первую и вторую производные

Для нахождения значений ,  и , удовлетворяющих начальным условиям, получаем систему алгебраических уравнений

ее решение , , . В итоге, получаем частное решение .

Ответ: Частное решение: .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение:

1) Запишем характеристическое уравнение . Решим его.

,

 или  (1).

Пусть , тогда уравнение (1) примет вид  (2).

, следовательно, уравнение (2) имеет два одинаковых вещественных корня:

.

Сделав обратную замену, получим

 или ,

 или .

2) Найдем семь частных решений исходного уравнения, соответствующих семи найденным корням.

Корню  кратности  соответствуют три частных решения ,  и .

Паре комплексно-сопряженных корней  кратности  соответствуют две пары частных решений: ,  и , .

4) Тогда общее решение уравнения имеет вид

.

Ответ: Общее решение: .