Уравнение в полных дифференциалах

Определение. Уравнение  (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть полный дифференциал некоторой функции , т.е. .

Способ решения. При решении дифференциального уравнения вида (1) сначала проверяем выполнение условия, при котором уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах. Оно состоит в равенстве частных производных  (2). Затем, используя равенства  и  (3), находим функцию . Решение записываем в виде .

Замечание. Если , то при некоторых условиях существует функция  такая, что . Эта функция  называется интегрирующим множителем. Интегрирующий множитель легко найти в случаях:

1) когда , тогда ;

2) когда , тогда .

Пример. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение:

Здесь , . Проверяем выполнение условия (2):

, , .

Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Условия (3) будут здесь выглядеть как

, .

Отсюда имеем

.

Найдем функцию , продифференцировав последнее выражение по :

.

Получаем уравнение

,

откуда находим , т.е. . Таким образом, функция  и общий интеграл уравнения имеет вид

, или , где .

Ответ: Общий интеграл: