2018-02-13
689
Рассмотрим три типа дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.
1) Уравнения вида 
.
Способ решения. Общее решение получается путем 
-кратного интегрирования:
.
Пример. Найти общее решение уравнения 
.
Решение:
Последовательно интегрируя два раза данное уравнение, получим
,
.
Ответ: Общее решение: 
.
2) Уравнения вида 
, т.е. уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка 
включительно.
На занятиях по высшей математике студентам чаще всего предлагается решать дифференциальные уравнения II порядка. Рассматриваемое уравнение второго порядка имеет вид 
, т.е. в этом соотношении явно отсутствует 
.
Способ решения. С помощью замены 
, где 
– новая неизвестная функция, порядок уравнения понижается на 
единиц. В частности, для уравнения второго порядка вводится замена 
, тогда 
и уравнение сводится к уравнению первого порядка 
. После его решения необходимо сделать обратную замену и найти общее решение (интеграл) исходного уравнения.
Пример. Найти общее решение уравнения 
.
Решение:
1) Данное уравнение не содержит явно функцию . Положим , тогда и уравнение примет вид
 или  .
| (1) |
Это линейное уравнение первого порядка. Решим его методом Лагранжа.
2) Предварительно решаем однородное линейное уравнение, т.е. уравнение 
– уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
, 
, 
, 
, 
, 
.
3) Теперь полагаем, 
и решение уравнения (1) ищем в виде 
. Находим производную: 
. Подставляем значения 
и 
в уравнение (1):
, 
,
, 
, 
.
4) Подставляя найденное выражение 
в искомое общее решение, получим
.
5) Возвращаясь к исходной переменной, получаем 
. Интегрируя это уравнение первого порядка, получаем общее решение исходного уравнения
.
Ответ: Общее решение: 
.
3) Уравнения вида 
, т.е. уравнения, не содержащие явно независимой переменной 
.
Рассматриваемое уравнение второго порядка имеет вид 
.
Способ решения. С помощью замены , где 
– новая неизвестная функция, порядок уравнения понижается на единицу. По правилу дифференцирования сложной функции находим
.
Затем найдем
и т.д.
В частности, уравнение второго порядка сводится с помощью такой замены к уравнению первого порядка 
. После определения его типа и решения необходимо сделать обратную замену и найти общее решение (интеграл) исходного уравнения.
Пример. Решить дифференциальное уравнение 
, удовлетворяющее начальным условиям: 
, 
.
Решение:
1) Данное уравнение не содержит явно переменную . Положим 
, тогда 
и уравнение примет вид 
.
2) Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
.
Интегрируем обе части уравнения:
, 
, 
,
.
3) Заменяя на 
, получаем: 
. Поскольку в задаче заданы начальные условия, можно найти постоянную 
. Так как 
, 
, то
, 
, 
и 
.
4) Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решим его.
, 
, 
(2).
Вычислим отдельно первый интеграл:
.
Возвращаясь к интегральному уравнению (2), получаем 
.
5) Найдем теперь постоянную 
из начального условия .
, 
.
В итоге, частный интеграл исходного уравнения
.
Ответ: Частный интеграл: .
