Рассмотрим три типа дифференциальных уравнений, допускающих понижение порядка.
1) Уравнения вида .
Способ решения. Общее решение получается путем -кратного интегрирования:
.
Пример. Найти общее решение уравнения .
Решение:
Последовательно интегрируя два раза данное уравнение, получим
,
.
Ответ: Общее решение: .
2) Уравнения вида , т.е. уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка включительно.
На занятиях по высшей математике студентам чаще всего предлагается решать дифференциальные уравнения II порядка. Рассматриваемое уравнение второго порядка имеет вид , т.е. в этом соотношении явно отсутствует .
Способ решения. С помощью замены , где – новая неизвестная функция, порядок уравнения понижается на единиц. В частности, для уравнения второго порядка вводится замена , тогда и уравнение сводится к уравнению первого порядка . После его решения необходимо сделать обратную замену и найти общее решение (интеграл) исходного уравнения.
|
|
Пример. Найти общее решение уравнения .
Решение:
1) Данное уравнение не содержит явно функцию . Положим , тогда и уравнение примет вид
или . | (1) |
Это линейное уравнение первого порядка. Решим его методом Лагранжа.
2) Предварительно решаем однородное линейное уравнение, т.е. уравнение – уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.
, , , , , .
3) Теперь полагаем, и решение уравнения (1) ищем в виде . Находим производную: . Подставляем значения и в уравнение (1):
, ,
, , .
4) Подставляя найденное выражение в искомое общее решение, получим
.
5) Возвращаясь к исходной переменной, получаем . Интегрируя это уравнение первого порядка, получаем общее решение исходного уравнения
.
Ответ: Общее решение: .
3) Уравнения вида , т.е. уравнения, не содержащие явно независимой переменной .
Рассматриваемое уравнение второго порядка имеет вид .
Способ решения. С помощью замены , где – новая неизвестная функция, порядок уравнения понижается на единицу. По правилу дифференцирования сложной функции находим
.
Затем найдем
и т.д.
В частности, уравнение второго порядка сводится с помощью такой замены к уравнению первого порядка . После определения его типа и решения необходимо сделать обратную замену и найти общее решение (интеграл) исходного уравнения.
Пример. Решить дифференциальное уравнение , удовлетворяющее начальным условиям: , .
Решение:
1) Данное уравнение не содержит явно переменную . Положим , тогда и уравнение примет вид .
2) Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Разделим переменные:
.
|
|
Интегрируем обе части уравнения:
, , ,
.
3) Заменяя на , получаем: . Поскольку в задаче заданы начальные условия, можно найти постоянную . Так как , , то
, , и .
4) Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решим его.
, , (2).
Вычислим отдельно первый интеграл:
.
Возвращаясь к интегральному уравнению (2), получаем .
5) Найдем теперь постоянную из начального условия .
, .
В итоге, частный интеграл исходного уравнения
.
Ответ: Частный интеграл: .