2018-02-13
1505
Определение. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида
 ,
| (1) |
где 
– действительные (вещественные) постоянные и 
.
Способ решения. Общее решение уравнения равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (при 
) и какого-нибудь частного решения исходного неоднородного уравнения, т.е. 
.
Для определения какого-либо частного решения данного уравнения рассмотрим два вида правой части, т.е. когда 
имеет так называемый “специальный вид” (в этом случае не требуется вычислять интегралы) и когда правая часть общего вида (в этом случае решение неоднородного линейного уравнения находится методом Лагранжа – методом вариации произвольных постоянных).
Специальный вид правой части
 ,
| (2) |
где 
и 
– многочлены 
-ой степени.
В этом случае частное решение 
уравнения (1) следует искать в виде
 ,
| (3) |
где 
– число, равное кратности 
как корня характеристического уравнения, 
и 
– многочлены степени с неопределенными коэффициентами.
|
|
|
После подстановки функции (3) в исходное уравнение (1) находят все неопределенные коэффициенты в искомом частном решении .
Замечание. Если правая часть представляет собой сумму функций специального вида 
, то частное решение исходного уравнения складывается также из суммы двух частных решений 
и 
, соответствующих функциям 
и 
.
Пример 1. Решить уравнение 
.
Решение:
Общее решение уравнения .
1) Найдем 
– общее решение соответствующего однородного уравнения: 
.
Запишем характеристическое уравнение 
. Решим его.
, 
, 
, 
.
Найдем частные решения уравнения, соответствующие найденным корням: корню 
кратности 
соответствует одно частное решение 
, корню 
кратности соответствует тоже одно частное решение 
.
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид 
.
2) Найдем частное решение исходного неоднородного уравнения по данной правой части 
. Она имеет специальный вид (2) с 
и 
, поэтому будем искать в виде (3)
.
В данном случае число 
, так как 
не совпадает с корнями характеристического уравнения.
Неопределенные коэффициенты А, В и С находим подстановкой частного решения в данное уравнение. Для этого найдем
, 
.
,
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
в последнем равенстве, приходим к системе алгебраических уравнений
откуда 
, 
, 
. Следовательно, частное решение 
, а общее решение неоднородного уравнения имеет вид
.
Ответ: Общее решение: .
Пример 2. Решить уравнение 
.
Решение:
Общее решение уравнения .
1) Найдем – общее решение соответствующего однородного уравнения: 
.
Запишем характеристическое уравнение 
. Решим его.
|
|
|
, следовательно, уравнение имеет два одинаковых вещественных корня: 
. Корню 
кратности 
соответствуют два частных решения 
и 
.
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид 
.
2) Найдем частное решение исходного неоднородного уравнения по данной правой части 
. Она имеет специальный вид (2) с 
и , поэтому будем искать в виде (3)
.
В данном случае, число 
, так как 
совпадает с двумя корнями характеристического уравнения.
Неопределенные коэффициенты А и В находим подстановкой частного решения в данное уравнение. Для этого найдем
,
.
Подставим , 
и 
в исходное уравнение :
,
.
После сокращения обеих частей уравнения на 
и приведения подобных слагаемых, получим
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в последнем равенстве, приходим к системе алгебраических уравнений
откуда 
, 
. Следовательно, частное решение 
, а общее решение неоднородного уравнения имеет вид 
.
Ответ: Общее решение: .
Пример 3. Решить уравнение 
.
Решение:
Общее решение уравнения .
1) Найдем – общее решение соответствующего однородного уравнения: 
.
Запишем характеристическое уравнение 
. Решим его.
,
или 
.
Найдем частные решения уравнения, соответствующие найденным корням: корню 
кратности соответствует тоже одно частное решение 
, корню кратности соответствует одно частное решение 
.
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид 
.
2) Найдем частное решение исходного неоднородного уравнения по данной правой части 
. Она имеет специальный вид (2) с и 
, поэтому будем искать в виде (3)
.
В данном случае число , так как 
не совпадает с корнями характеристического уравнения.
Неопределенные коэффициенты А и В находим подстановкой частного решения в данное уравнение. Для этого найдем
, 
.
,
,
.
Приравнивая коэффициенты при 
и 
в последнем равенстве, приходим к системе алгебраических уравнений
откуда 
, 
.
Следовательно, частное решение 
, а общее решение неоднородного уравнения имеет вид
.
Ответ: Общее решение: .
Рассмотрим общий случай, когда правая часть есть любая функция (в том числе и специальная). В этом случае применяется метод Лагранжа. Покажем его на примере уравнения второго порядка.
Пример 4. Решить уравнение 
.
Решение:
В данном уравнении функция 
не имеет специальный вид (2).
1) Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения: 
.
Запишем характеристическое уравнение 
. Решим его.
, 
.
Паре комплексно-сопряженных корней 
кратности соответствует пара частных решений:
, 
.
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид
.
2) Общее решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде 
, где 
и 
находим из следующей системы уравнений:
где 
и 
– линейно независимые решения однородного уравнения. В данной задаче эта система имеет вид
Решим ее. Выразим 
из первого уравнения и подставим по второе:
, 
,
, 
,
, 
, т.е. 
.
Найдем теперь , а затем и :
, т.е. 
.
В итоге, общее решение данного уравнения записывается так:
.
Ответ: Общее решение: 
.
