double arrow

Второй способ. С помощью характеристического уравнения.


Найдем общее решение системы в виде:

здесь  – неизвестные пока функции,  – произвольные постоянные.

Будем искать искомые функции  в виде , . Тогда , . Подставим x, y и их производные в систему:

 

или, сокращая на :

(*)

Запишем характеристическое уравнение системы:

или

Находим корни квадратного уравнения: .

При  система (*) примет вид

Или . Пусть , тогда . Получим частные решения:

, .

При  система (*) примет вид

Или . Пусть , тогда . Получим частные решения:

, .

В итоге, решение системы имеет вид

Ответ: Общее решение системы

Контрольная работа

Вариант 1. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. . Вариант 2. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. .
Вариант 3. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. . Вариант 4. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. .
Вариант 5. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. . Вариант 6. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . . 6. .
Вариант 7. Решить уравнения: 1. . . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. . Вариант 8. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. .
Вариант 9. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. . Вариант 10. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. 6. .
Вариант 11. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. . Вариант 12. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. .
Вариант 13. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. . Вариант 14. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. .
Вариант 15. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. . Вариант 16. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. .
Вариант 17. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. . Вариант 18. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. .   Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. .
Вариант 19. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. 6. . Вариант 20. Решить уравнения: 1. . 2. . 3. . Решить задачи Коши: 4. . 5. . 6. .

Типовой расчет




 

Вариант 1

Вариант 2

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8.

8.

9.

9. .

10. .

10. .

11. .

11.

12.

12.

13. .

13. .

14.

14.

15.

15.



16. Найти линию, у которой любая касательная пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала координат.

16. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.

Вариант 3

Вариант 4

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8. .

8.

9. .

9. .

10.

10. .

11. .

11.

12. .

12. .

13. .

13. .

14.

14.

15.

15.

16. Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.

16. Найти линию, у которой длина нормали есть постоянная величина a.

Вариант 5

Вариант 6

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8.

8.

9. .

9.

10. .

10. .

11. .

11. .

12.

12.

13. .

13. .

14.

14.

15.

15.

16. Найти линию, проходящую через точку  и имеющую постоянную касательную, равную а.

16. Найти линию, у которой длина нормали в любой ее точке равна расстоянию от этой точки от начала координат.

Вариант 7

Вариант 8

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8.

8.

9. .

9.

10. .

10. .



11.

11. .

12.

12. .

13. .

13. .

14.

14.

15.

15.

16. Найти кривую, проходящую через точку (0;1), у которой подкасательная равна сумме координат точки касания.

16. Найти уравнение кривой, у которой длина отрезка, отсекаемого касательной на оси ординат равна поднормали.

Вариант 9

Вариант 10

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8.

8.

9.

9.

10. .

10. .

11. .

11.

12. .

12. .

13.

13. .

14.

14.

15.

15.

16. Найти уравнение кривой, у которой длина отрезка, отсекаемого касательной на оси абсцисс, равна квадрату ординаты точки касания.

16. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной равна соответствующей поднормали.

Вариант 11

Вариант 12

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4.

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8. , .

8. ,

9.

9. .

10. .

10.

11. .

11.

12. .

12. .

13. .

13.

14.

14.

15.

15.

16. Найти линию, проходящую через точку (2,3) и обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между координатными осями, делится точкой касания пополам.

16. Найти кривую, для которой отрезок на оси ординат, отсекаемый любой касательной, равен абсциссе точки касания.

Вариант 13

Вариант 14

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4. , (интегрирующий множитель )

5.

5.

6.

6.

7. .

7.

8. .

8.

9. .

9. .

10.

10.

11. .

11. .

12. .

12.

13. .

13. .

14.

14.

15.

15.

16. Найти уравнение кривой, у которой подкасательная равна среднему арифметическому координат точки касания.

16. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3;1), для которой отрезок касательной между точкой касания и осью ОХ делится пополам в точке пересечения с осью ОУ.

Вариант 15

Вариант 16

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4. .

4. , (интегрирующий множитель )

5.

5.

6.

6.

7.

7. .

8. .

8.

9. .

9.

10.

10. .

11.

11. .

12. .

12. .

13. .

13.

14.

14.

15.

15.

16. Найти кривую, у которой подкасательная вдвое больше абсциссы точки касания.

16. Найти линию, у которой квадрат длины отрезка, отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.

Вариант 17

Вариант 18

1.

1.

2.

2.

3.

3.

4.

4. . , (интегрирующий множитель )

5.

5.

6.

6.

7.

7.

8.

8. .

9. .

9. .

10. .

10. .

11. .

11. .

12. .

12. .

13. .

13. .

14.

14.

15.

15.

16. Найти линию, у которой начальная ордината любой касательной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания.

16. Найти линию, у которой любая касательная пересекается с осью ординат в точке, одинаково удаленной от точки касания и от начала координат.

Вариант 19

Вариант 20

1. .

1. .

2.

2.

3.

3.

4.

4. , (интегрирующий множитель )

5.

5.

6. .

6.

7.

7.

8.

8.

9. .

9. .

10. .

10. .

11.

11. .

12. .

12. .

13. .

13. .

14. .

<