Первый способ. Метод Бернулли

Это уравнение линейное относительно и . Положим , где и – вспомогательные искомые функции. Заметим, что если , то один из множителей ( или ) можно выбрать произвольно (но не равным нулю). Тогда и уравнение примет вид

Раскроем скобки и сгруппируем члены, содержащие :

(1)

Выберем функцию таким образом, чтобы скобка в (1) обращалась в нуль. Тогда уравнение равносильно следующей системе:

(2) (3)

Уравнение (2) – дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Решим его.

, , , , , ,

(берем простейшее частное решение этого уравнения, считая произвольную постоянную С, возникающую при взятии интеграла, равной нулю).

Подставляем найденное значение в уравнение (3). Имеем

, .

Интегрируя, находим

Окончательно, общее решение исходного уравнения

Ответ: Общее решение: .

Второй способ. Метод Лагранжа.

Предварительно решаем однородное линейное уравнение, т.е. уравнение – уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

, , , , , .

Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную С в полученном решении заменяем функцией , т.е. полагаем и решение исходного уравнения ищем в виде .

Находим производную: . Подставляем значения и в исходное уравнение:

, ,

, , .

Подставляя найденное выражение в искомое общее решение, получим

Естественно, такое же решение было получено методом Бернулли.

Уравнение Бернулли

Определение. Дифференциальное уравнение вида , , , (или ) называется уравнением Бернулли.

Если , то уравнение линейное, а при – с разделяющимися переменными.

Способ решения. Подстановка сводит уравнение Бернулли к линейному уравнению, и поэтому его можно решать как линейное дифференциальное уравнение первого порядка, т.е. подстановкой или методом вариации произвольной постоянной. Но на практике уравнение Бернулли удобнее решать подстановкой сразу же, без сведения его к линейному.