Некоторые решения уравнений Навье–Стокса

 

Уравнения движения вязкой жидкости (2.38) имеют ограниченное число точных решений, в частности, в случае так называемых слоистых течений. Рассмотрим примеры.

А) Течение в плоском канале. Рассмотрим стационарное течение между двумя покоящимися параллельными плоскими стенками. Направим ось O  по оси канала, ось O  – перпендикулярно. Тогда естественно положить, что . Уравнение для продольной составляющий скорости  примет вид

                           ,                  (2.39)

где  – заданный перепад давления на участке канала длиной . Если расстояние между стенками , то граничные условия таковы:  при .

Дважды проинтегрировав уравнение (2.39), получим параболический профиль скорости

                  ,

где  – максимальное значение скорости, достигаемое на оси канала. Объемный расход [по (2.10), где м]

                       ;

средняя скорость согласно (2.12)

                                       .

 

Напряжение трения на стенке

                       .

Зная , можно определить силу сопротивления трения участка канала, приходящуюся на 1 м в направлении координаты :

                                  .

б) Течение в круглой трубе (течение Хагена–Пуазейля). Введем цилиндрические координаты (, , ), причем пусть ось трубы совпадает с осью O . Предположим, что поле скорости  осесимметрично, т.е. продольная компонента скорости  зависит только от радиальной координаты . Уравнение движения принимает вид

                                                          (2.40)

с граничным условием:  при . Проинтегрировав (2.40), получим

• профиль скорости

                   ,

где максимальная скорость (скорость на оси трубы)

                                      ;

• объемный расход

                                 (2.41)

(закон Хагена–Пуазейля);

• среднюю скорость

                               ;                       (2.42)

• напряжение на стенке

                                ;

• силу сопротивления трения участка трубы

                                .

Интеграл Бернулли для потока весомой
несжимаемой вязкой жидкости

 

Займемся обобщением интеграла Бернулли на случай движения тяжелой вязкой жидкости.

Исходим из того, что движение установившееся и в рассматри­ваемом сечении поток слабо деформирован. (Под слабодефор­миро­ванными понимают потоки, у которых угол расхождения линий тока мал, а радиус кривизны – велик.)

Определим энергию, проносимую секундной массой струйки через сечение (т.е. мощность струйки). Эта величина может быть найдена как произведение полной удельной энергии струйки  на ее массовый расход (). Таким образом,

                              .                      (2.43)

Секундная энергия (мощность) потока в соответствии со струйной моделью

                                                   (2.44)

либо

                         .                (2.45)

Так как поток слабодеформированный, то  и после преобразований получаем

                            .                   (2.46)

По физическому смыслу второй член в (2.46) представляет собой кинетическую энергию секундной массы. Отсюда, разделив обе части уравнения на массовый расход потока , получим удельную энергию

                               

или

                                     ,                           (2.47)

где  – коэффициент Кориолиса, представляющий собой отношение кинетической энергии потока, вычисленной по истинному распределению скоростей, к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости.

Разделив обе части (2.47) на ускорение свободного падения , выразим это соотношение в единицах длины, т.е. в форме напоров

                                 .

Рассмотрим движение потока вязкой жидкости в канале (рис. 2.8) от сечения 1-1 к сечению 2-2. Обозначим удельную энергию потока в сечении 1-1 через , а в 2-2 – .

Так как жидкость вязкая, то процесс ее перемещения сопровождается диссипацией энергии, т.е. какая-то ее часть расходуется на преодоление сил внутреннего трения и превращается в тепло, следовательно, . Поэтому баланс энергии для выбранных сечений должен быть записан в виде

                                        ,                                (2.48)

где  – потери энергии.

Раскрывая значения  и , получаем:

                    .           (2.49)

Это и есть энергетическая форма интеграла Бернулли для потока вязкой жидкости.

В практических приложениях чаще используют интеграл Бернулли, выраженный в напорах

                      ,             (2.50)

где  – потери напора.

Для газовых потоков (без учета сжимаемости), а также при расчетах систем гидравлического привода обычно используют уравнение Бернулли в форме давлений

                ,       (2.51)

где  – потери давления. Как правило, в упомянутых системах член  оказывается пренебрежимо малым по сравнению с остальными.
В этих случаях (2.51) принимает вид

                           .                  (2.52)

 

Основы гидравлики

 

Предметом изучения в гидравлике служат законы движения жидкостей в открытых и закрытых каналах, гидротехнических сооружениях и гидромашинах, имеющие направленность на решение широкого круга вопросов инженерной практики. Теоретической основой гидравлических расчетов служит обобщенный интеграл Бернулли в форме (2.49) – (2.52).

3.1. Гидравлические потери
На распределенных и местных
сопротивлениях