Основы теории пограничного слоя

 

Понятие о пограничном слое

 

Опыты показывают, что при обтекании тела (рис. 5.1) поток можно условно разделить на две области:

• пристенную область малой толщины, где влияние сил вязкости сопоставимо с влиянием сил инерции, – пограничный слой (ПС);

• область внешнего потока, где влияние сил вязкости пренебрежимо мало.

Внутри ПС скорость резко возрастает от нуля на стенке до величины, практически равной скорости набегающего потока, на его границе.

Под толщиной пограничного слоя  подразумевают расстояние по нормали до стенки, на котором продольная скорость течения  обычно достигает 99 % скорости внешнего потока .

Несмотря на малость толщины пограничного слоя () структура течения в нем в значительной мере влияет на сопротивление обтекаемого тела, его подъемную силу, аэродинамический нагрев и другие характеристики.

Рис. 5.1. Пограничный слой на плоской пластине

Различают ламинарные и турбулентныепограничные слои в зависимости от ламинарного или турбулентного режима течения в них. Основным условием образования динамического ламинарного пограничного слоя является большое значение числа Рейнольдса , не достигающее, однако, той критической величины, при которой режим течения в пограничном слое становится турбулентным.

Уравнения двумерного пограничного слоя

 

В 1904 году Л. Прандтль представил в Гейдельберге Международному конгрессу математиков доклад, в котором изложил метод упрощения уравнений Навье–Стокса при больших числах Рейнольдса.

Рассмотрим обтекание слабоизогнутой пластины несжимаемым потоком. Уравнения Прандтля в этом случае имеют вид:

                    ,             (5.1)

                                       .                                 (5.2)

На поверхности пластины и вдали от нее должны выполняться следующие условия:

               ,  при ,  при ;       (5.3а)

                     ,  при .            (5.3б)

Здесь  – скорость внешнего течения, связанная с распределением давления уравнением Эйлера:

                                  .                           (5.4)

Целью интегрирования уравнений ПС (5.1)–(5.4) является получение поля скоростей. Зная распределение скорости, можно вычислить следующие важные для практики характеристики:

• напряжение трения на стенке

                                      ;                               (5.5)

• коэффициент трения

                                        ;                                  (5.6)

• силу сопротивления поверхности, имеющей длину  и ширину

                                      ;                               (5.7)

• коэффициент сопротивления

                                       ,                                 (5.8)

где  – характерная площадь, например площадь поверхности в плане .

 

 

Течение Блазиуса

В качестве примера рассмотрим стационарное обтекание плоской пластины. В этом случае скорость внешнего потока постоянна, , т. е. согласно (5.4)  и уравнение движения (5.3) принимает вид

                               .                        (5.9)

Относительную скорость ищем в виде

                                        ,

где толщина ПС . Вводя функцию тока согласно (2.49), систему уравнений (5.9), (5.2) и (5.3) сводим к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения. Решение последней задачи дает зависимости

, , , . (5.10)

Здесь  – местное число Рейнольдса;  – толщина вытеснения масс в пограничном слое, учитывающая смещение линий тока из-за наличия вязкости (торможение жидкости в пограничном слое),

                                    .                            (5.11)

Аналогично для оценки потерь количества движения на преодоление трения вводится толщина потери импульса ,

                                 .                         (5.12)

Пример 5.1. Воздух с 15°С, 1.29 кг/м³ течет вдоль пластины ( 1 м, 2 м) со скоростью 5 м/с. Определить: а) толщину ПС на расстоянии 0.25 и 1 м от передней кромки; б) силу сопротивления трения пластины.

Решение. Используем (5.9) и (5.10):

а) 0.0041» 4 мм,

0.0083» 8 мм;

б)

5.2. Устойчивость и отрыв
пограничного слоя

 

Ламинарное течение в ПС при достаточно больших числах Рейнольдса становится в той или иной степени неустойчивым и аналогично течению в трубе может стать турбулентным. как показывают эксперименты, турбулизация пограничного слоя наступает при .

При обтекании тела, например, протяженной пластины (рис. 5.2), структура потока на разных расстояниях от передней кромки различна. Вблизи передней кромки течение слоистое и ПС ламинарный. По мере удаления от передней кромки толщина пограничного слоя растет, а устойчивость ламинарного течения уменьшается; в результате ПС переходит в турбулентное состояние. За кормовой частью тела в результате отрыва пограничного слоя возникает аэродинамический след. В следе за телом пограничные слои с нижней и верхней поверхностей смыкаются, поле скоростей постепенно выравнивается и приближается к скорости внешнего потока. В основном объеме жидкости вне ПС и следа движение может рассматриваться потенциальным (см. раздел 2).

Рис. 5.2. Схема обтекания тела вязким потоком

 

Явление отрыва тесно связано со свойствами прилипания вязкой жидкости к твердой поверхности обтекаемого ею тела и образованием на ней пограничного слоя. Если рассмотреть стационарный отрыв, то он является результатом взаимодействия трех факторов:

а) инерции потока;

б) вязкого взаимодействия между смежными слоями жидкости и твердой поверхностью;

в) обратного перепада давления, направленного в сторону, противоположную движению.

На рис. 5.3 показаны профили скоростей в потоке, обтекающем тело. Точки А и В находятся в конфузорной области, где отрыв невозможен, так как здесь поток разгоняется, а давление по потоку убывает. Такой градиент давления на стенке будет содействовать движению жидкости в пограничном слое, а не противодействовать ему. В диффузорной области тела вниз по течению за точкой минимума давления В поток замедляется, а давление на стенке возрастает. Такой градиент давления противодействует потоку, и жидкость в пограничном слое движется из области меньшего давления в область большего давления против подтормаживающего ее перепада давлений. В условиях пограничного слоя торможение может вызвать остановку, а далее и обратное (рис. 5.3) движение под действием перепада давления, направленного против движения. Встреча набегающего потока с обратно движущейся в ПС жидкостью приводит к резкому оттеснению линий тока от поверхности тела, к утолщению пограничного слоя и к отрыву его от поверхности тела.

Рис. 5.3. К явлению отрыва пограничного слоя:

ОВ – конфузорный участок, CD – диффузорный участок

С отрывом мы уже встречались при рассмотрении потерь в элементах гидравлических систем (см. раздел 3.1). Отрыв пограничного слоя обычно относят к числу вредных явлений, вызывающих резкое повышение сопротивления обтекаемых жидкостью тел, опасные вибрации их, а в случае внутренних течений по трубам и каналам проводит к уменьшению полезного расхода жидкости, возрастанию потерь энергии и уменьшению кпд гидросистемы.

Ширина следа зависит от положения линии отрыва на поверхности тела и является важной характеристикой: можно показать, что сила сопротивления, действующая на тело в направлении обтекания, равна

                                ,

где интегрирование производится по площади поперечного сечения следа вдали от тела.

Проследим на примере обтекания шара ход зависимости коэффициента сопротивления  от числа Рейнольдса.

При ламинарном режиме течения в ПС след относительно широкий (рис. 5.4, а),  монотонно убывает с ростом  (рис. 5.5) вплоть до 5×10³, где  достигает минимума, и вслед за этим несколько повышается.

Турбулизация пограничного слоя при (2¸3)×10⁵ приводит к сужению следа (рис. 5.4, б) и к уменьшению коэффициента сопротивления примерно в 4–5 раз. Это явление называется кризисом сопротивления.

Заметим, что при обтекании тел с угловыми точками (например, призмы с поперечным сечением в виде n -угольника) отрыв возникает на углах и в дальнейшем уже никуда не будет смещаться. Поэтому при увеличении числа Рейнольдса  таких тел остается постоянным и кризис не возникает.

Рис. 5.5. Зависимость коэффициента сопротивления
сферы от числа Рейнольдса