Свойства преобразования Ф

Периодический сигнал

 

 – целое,

 – период.

Пример:

Любой спокойный периодический сигнал может быть представлен в виде композиции гармонических колебаний с частотами, кратными основной частоте.

ω =

f=

Примеры

К периодическим сигналам относят: 

· Гармонические: 

· Полигармонические:

Полигармонические сигналы могут включать постоянную составляющую   и сумму гармонических с любыми значениями амплитуд гармоник и фаз с частотами, кратными фундаментальной частоте , равной или кратной минимальной частоте гармоник.

Непериодические сигналы

Понятие интервала наблюдения ],

Вставка: преимущества гармонического (sin/cos) разложения периодических сигналов.

Информационные параметры детерминированных сигналов

Интервал наблюдения не должен быть меньше (для периодического сигнала) периода основной гармоники:

· Максимальное (пиковое) значение на

· Постоянная составляющая (среднее значение):

· Средневыпрямленное значение:

· Среднеквадратичное значение (действующее):

С энергетических позиций - сигналы с бесконечной и конечной (ограниченной) энергией:

· Апериодические сигналы без постоянной составляющей.

· Импульсные сигналы.

Случайные сигналы

Случайным сигналом называют временную функцию, значения которой априори на интервале наблюдения не известны. Случайный сигнал содержит две компоненты:

· Полезный сигнал

· Шум (помеха)

Источники помех/шумов:

· Внутренние (тепловые шумы)

· Внешние:

§ Индустриальные

§ Флуктуации внешней среды

§ Молнии

§ Специальные наводки

Классификация по временным/ частотным свойствам:

· Флуктуационные

· Импульсные

· Периодические

Основные модели взаимодействия полезного сигнала и шума:

· Аддитивные

· Мультипликативные

· Комбинированные

Типы сигналов:

1. Аналоговый сигнал:

2. Дискретный сигнал - последовательность отсчетов:

3. Квантованный сигнал (по амплитуде):

4. Цифровой сигнал – дискретный + квантованный

Преобразования типа сигнала:

· Дискретизация

· Квантование

· Аналогово-цифровое (АЦП)

· Восстановление (например, ЦАП)

Формы представления математических моделей сигналов:

· Во временной области (аргумент время)

· В частотной области (аргумент частота)

Представление в частотной области – спектральное.

Спектры детерминированных сигналов

a) Спектры гармонических сигналов

Спектр сигнала содержит общую составляющую  с амплитудой, равной .

b) Спектры периодических сигналов произвольной формы:

Спектр может бытьполучен (представляем сумму гармонических сигналов) путем разложения в гармонический ряд Ф.

 – амплитудный спектр;

 – фазовый спектр;

 – энергетический спектр.

c) Спектры непериодических сигналов

Методически .

Спектральное разложение детерминированного непериодического сигнала называется преобразованием Ф.

 – комплексный амплитудный частотный спектр

| |- амплитудный спектр

Свойства преобразования Ф.

1.

2.

3.

4.  

5.

6. Теорема Парсеваля

Для математического моделирования операций преобразования типов сигналов используют специальные пробные функции:

1. δ - функция Дирака:

δ

τ

t

2. функция Кронекера (аналог δ функции для дискретных сигналов):

δ

k

1

n

3. Единичная функция Хевисайда: для создания математических моделей сигналов конечной длительности.

 (или 1, =0)

Тема 2. Вероятностные методы теории информационных процессов.

Случайные события

Любой принятый сигнал апостериорно представляет собой детерминированный процесс или событие. Априорно наблюдатель/приемник не знает в точности поведение сигнала, он для него не определен, т.е. случаен.

Математический аппарат описания априорно неопределенных процессов или событий:

· Теория вероятности

· Теория нечетных множеств

Теория вероятностей:

· Статистический подход

· Аксиоматический подход (Колмогоров)

Объекты теории вероятности:

· случайные события

· случайные величины

· случайные вектора

· случайные процессы

Случайное событие – произошло или нет, мера случайности – вероятность .

 - да

N – всего событий,

Событие:

Событие:

Случайная величина

τ

- принятый сигнал

- сечение

Одна реализация

          

T=τ

- сечение

Ансамбль реализаций

Случайный вектор , где - случайная величина.

Другой пример случайных событий – сигналы систем контроля состояния (логические сигналы). ИИС может одновременно фиксировать несколько случайных событий, т.е. ансамбль событий, например, смотрите рисунок выше.

А:

B:

С:

Эти события могут быть зависимыми или независимыми.

Отношения событий

Сумма:  – по крайней мере одно событие имеет место.

Формула сложения вероятности:

Произведение:  – и то, и это событие одновременно.

Формула умножения вероятности:

Здесь  - условная вероятность.

Несовместимые события:

Несовместимые события образуют полную группу, если ∑ вероятности этих событий = 1. Обычно   - ансамбль гипотез,

Формула полной вероятности

  - ансамбль гипотез (полный).

Событие  может произойти только совместно с одной из гипотез.

Очевидно,

Тогда

- апостериорная условная вероятность.

Пусть  – вероятность состояния сигнала (сообщения), и нас интересуют априорные условные вероятности посылки s w:val="24"/></w:rPr><m:t>H</m:t></m:r></m:e><m:sub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/></w:rPr><m:t>i</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> , если мы получили .

Тогда формула Байеса:

Но , следовательно:

Случайный процесс как модель сигнала

В общем случае определяемая одномерной или многомерной функцией распределения и плотностью распределения вероятности.

Одномерная модель (модель сечения сигнала в момент t=t₀)

ξ - фиксируемая случайная величина или

Многомерная модель (случайный процесс – статистический ансамбль выборочных функций)

Здесь

Чаще всего ограничиваются исследованием одномерных и двумерных моделей.

Свойства функций и плотности распределения вероятности.

Если  то   ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

Для дискретных по величине случайных сигналов (квантованных):