Динамика невязкой жидкости

 

Динамика жидкости - раздел гидромеханики, в котором изучаются законы движения жидкостей в зависимости от приложенных к ним сил.

При заданных внешних силах задача динамики жидкости сводится к определению напряжений и кинематических параметров движения в каждой точке жидкости в любой момент времени, а также к определению гидродинамических сил воздействия потока на тела.

В данном разделе рассматривается не реальная жидкость, а нес­колько упрощенная - невязкая жидкость, т.е. жидкость, лишенная дейс­твия сил внутреннего трения (сил вязкости).

Это значит, что в потоке нет касательных напряжений, т.е. действующие на жидкость силы являются сжимающими. Нормальные напряжения (давление) в движущейся жидкости обладают теми же свойствами, что и в покоящейся жидкости.

Вместе с исключением из рассмотрения сил вязкости на начальном этапе изучения динамики жидкости будем игнорировать сжимаемость жидкости, т.е. считать r = const. Это последнее упрощение реальной жидкости значительно в меньшей степени искажает реальную картину, т.к. сжимаемость реальной жидкости весьма мала. В технической гид­ромеханике невязкую и несжимаемую жидкость называют идеальной.

 

УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СТРУЙКИ

ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

 

Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под действием лишь одной массовой силы - силы тяжести, выделив одну из элементарных струек, составляющих поток. Отметим на этой струйке сечениями 1 и 2 участок произвольной длины (рис.4.1).

Площади сечений составляют соответственно dS₁ и dS₂. Отброшенные части струйки до сечения 1 и после сечения 2 заменяются реакциями, равномерно распределенными по соответствующим сечениям в виде давлений (нормальных напряжений) p₁ и p₂.

Скорости движения жидкости в сечениях составляют V₁ и V₂, а высоты расположения центров тяжести сечений, отсчитанных от произвольной горизонтальной плоскости сравнения, z₁ и z₂.

За бесконечно малый промежуток времени dt выделенный участок струйки переместится в положение 1^’ -2 ^‘.

 

 

Рис.4.1. Схема для вывода уравнения Бернулли

 

Применим к массе жидкости в объеме участка струйки теорему механики о том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела. Такими силами в рассматриваемом случае являются силы давления и силы тяжести. Определим последовательно работу этих сил.

А. Работа сил давления. Работа силы давления в первом сечении положительна, т.к. направление силы давления совпадает с направлением перемещения, и выражается как произведение силы  на путь :

.                                    (4.1)

Работа силы давления во втором сечении отрицательна, т.к. нап­равление действия силы прямо противоположно направлению перемещения, и запишется в виде

.                            (4.2)

Силы давления на боковую поверхность рассматриваемого участка работы не производят, т.к. они нормально к этой поверхности, а следо­вательно, нормальны и к перемещению. Тогда работа сил давления опи­шется выражением

.      (4.3)

Б. Работа сил тяжести.  Эта работа затрачивается на изменение потенциальной энергии положения участка струйки. Поэтому надо из энергии положения участка жидкости в исходный момент (1-2) вычесть энергию положения участка жидкости через время dt (1' -2'). При этом энергия положения промежуточного участка l'-2 сократится, т.к. является общей для обоих положений участка, поэтому останется разность элементов 1-1' и 2-2'.

Для элемента 1-1' имеем последовательно: объем элемента - , масса элемента - , сила тяжести –  и энергия положения участка 1-1' этой силы

                            (4.2)