Теория атома Бора. Постулаты Бора

 

Резерфорд предложил ядерную модель атома: вокруг положительно заряженного ядра, имеющего заряд  (  – порядковый номер элемента), по замкнутым орбитам движутся электроны, образуя электронную оболочку атома. Кулоновская сила взаимодействия сообщает электрону центростремительное ускорение. Второй закон Ньютона для электрона, движущегося по окружности: , где  и  – масса и скорость электрона на орбите радиуса . Недостаток уравнения в том, что оно содержит два неизвестных  и . Следовательно, существует бесчисленное множество значений радиусов и скоростей, а значит и энергий, которая может меняться непрерывно, и следовательно, испускаться любая порция энергии. Этому противоречит линейчатый спектр излучения атомов. Попытки построить теорию атома в рамках классической физики не привели к успеху. Первая попытка построить новую квантовую теорию атома была предложена Бором. В основу теории Бор положил два постулата:

I постулат (постулат стационарных состояний). В атоме существуют стационарные (не изменяющиеся во времени) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям соответствуют стационарные орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по ним не сопровождается излучением электромагнитных волн. В стационарном состоянии атома электрон должен иметь дискретные квантовые значения момента импульса, удовлетворяющие условию: .

II постулат (правило частот). При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается или поглощается один фотон с энергией , равной разности энергий соответствующих стационарных состояний.  – энергии электрона на соответствующих орбитах. Решая совместно уравнение Резерфорда с условием первого постулата Бора, найдем радиус стационарной орбиты электрона , тогда энергия электрона на -ой стационарной орбите: . Полученные энергетические состояния атома образуют последовательность энергетических уровней, изменяющихся в зависимости от значения , где  – главное квантовое число. Состояние атома для значения главного квантового числа  называется основным или нормальным состоянием; если > 1 – состояния называются возбужденными.

В квантовой механике состояние электрона в атоме водорода () описывается волновой функцией , удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера:

.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром , тогда . Решение этого уравнения позволяет найти собственные значения энергии электрона:

.

Энергия принимает  дискретные отрицательные значения. Выражение для  совпадает с формулой, полученной Бором для энергии электрона в атоме водорода, однако, если Бору пришлось вводить дополнительные гипотезы (постулаты), то в квантовой механике дискретные значения энергии вытекают непосредственно из решения уравнения Шредингера.

 

Квантовые числа

 

Квантовые числа – это целые или полу целые числа, определяющие возможные дискретные значения физических величин системы, подчиняющиеся квантовым законам.

Главное квантовое число , определяет энергетические уровни электрона в атоме,  Электроны со значениями энергии, соответствующими главному квантовому числу  образуют К-оболочку; со значениями  – L-оболочку,  – М-оболочку, и т.д.

 Из решения уравнения Шредингера вытекает, что механический орбитальный момент импульса электрона квантуется, принимая дискретные значения, определяемые формулой , где  – орбитальное квантовое число.  Оно определяет форму орбиты и принимает значения , т.е. всего  значений. Например, при ,  Если  – это s-электрон, при  – р-электрон, при  – d-электрон, и т.д.

Из решения уравнения Шредингера следует, что вектор  орбитального момента импульса электрона может быть только так ориентирован в пространстве, когда его проекция  на направление внешнего магнитного поля принимает только квантованные значения , где  – магнитное квантовое число. Оно определяет проекцию  на направление внешнего магнитного поля  и характеризует ориентацию плоскости электронной орбиты в пространстве, принимая значения , всего  значений ориентаций.

 Хотя энергия электрона и зависит только от квантового числа , но каждому собственному значению энергии  соответствует несколько собственных функций , отличающихся значениями  и . Значит, атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в различных состояниях. Число различных состояний, соответствующих главному квантовому числу , равно . Состояния с одинаковым значением энергии называются вырожденными, а число таких состояний с одинаковыми значениями энергии называется кратностью вырождения соответствующего уровня. Каждый уровень энергии водородоподобного атома имеет кратность вырождения, равную .

 

Спин электрона

Кроме орбитальных магнитного () и механического () моментов электрона, определяющих его движение по орбите, электрон обладает собственным механическим моментом импульса.  Он носит название спина -  и не связан с движением электрона в пространстве. Следствием наличия спина является существование собственный магнитный момент . Эти моменты являются внутренними неотъемлемыми свойствами электрона, такими же, как заряд и масса. Спин может принимать лишь дискретные значения и квантуется по закону , где  – спиновое квантовое число. Для электрона, протона и нейрона , для фотона . Проекция спина  на направление внешнего магнитного поля квантуется так, что вектор  может принимать только  ориентаций. Значит, для электрона () всего две ориентации.

, где  – магнитное спиновое квантовое число. Для электрона оно принимает лишь два значения .

Все элементарные частицы делятся на два класса.. Частицы с полу целым спином , (; электроны, протоны, нейроны) называются фермионами. Частицы с целым спином (; -мезоны, фотоны, фононы) называются бозонами.

Принцип Паули

 

Распределение электронов по энергетическим уровням в атоме подчиняется принципу Паули: в атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел  и т.е.  или 1. Поскольку для электрона число  принимает лишь два значения , то на любом энергетическом уровне может находиться не более двух электронов с разными спинами. Максимальное число электронов, находящихся в состояниях, определяемых главным квантовым числом  равно , т.е. -электронов с  и -электронов с . Отметим, что принципу Паули подчиняется распределение по энергетическим состояниям не только электронов, но и всех фермионов. Распределение бозонов принципу Паули не подчиняется.