Регулярное и стохастическое движение в асимметричном вихре

Введение

В отличие от стандартных задач диффузии и теплопроводности, относящихся к классической математической физике, проблема модификации процессов переноса в движущихся средах является до сих пор нерешенной в полном объеме. Движение среды меняет не только эффективную скорость диффузии, но и характер зависимости диффузионного потока (характерного смещения) от времени. Более сильная (по сравнению с обычной для стандартной диффузии корневой) зависимость от времени называется супердиффузией, а более слабая – субдиффузией. Как правило, неоднородное движение среды приводит к супердиффузии, что необходимо иметь в виду при многочисленных практических приложениях этой задачи, например, для расчетов распространения выбросов ядовитых веществ в атмосфере или загрязнений в океане, миграции примесей в плазменном или химическом реакторе и многих других.

Возможно ли течение, реализующее режим субдиффузии в отсутствие специальных "ловушек" для диффундирующих частиц, пока неизвестно. Идея постановки данной работы состояла в том, что в условиях течения по несимметричной области, когда ширина узкого слоя оказывается порядка длины свободного пробега частицы, может быть реализован и режим субдиффузии. Так это или нет, предстоит выяснить в результате проведения предлагаемого численного эксперимента.

Рассмотрим модель пробных частиц (dye particles). Частицы в этой модели испытывают воздействие среды, но не изменяют ее параметров. В общем случае поток частиц имеет вид:

                                      (4.18)

где первое слагаемое представляет конвективный поток частиц плотности n в поле скоростей , второе слагаемое соответствует диффузионному переносу с коэффициентом диффузии D:

,                               (4.19)

где радиус-вектор () обозначает положение i-ой частицы в момент времени t (t₀), а угловые скобки означают усреднение по ансамблю пробных частиц:

,                            (4.20)

где N – полное количество пробных частиц.

 

Постановка задачи

Ставится модельная задача нахождения усредненного потока частиц (4.18), находящихся в тепловом (стохастическом) и регулярном (вихревом) движении. Движение происходит в прямоугольной области, показанной на рисунке 4.10. Регулярное движение осуществляется в виде вихря вдоль границы. В центре прямоугольника существует зона захвата (на рисунке 4.10 отмечена внутренним прямоугольником), в которой происходит только тепловое движение. Поскольку область вихря асимметрична, то согласно условию непрерывности (см. ниже), в нижней зоне (зона II на рисунке 4.10) вихревое движение осуществляется с большей скоростью, чем в верхней (зона I на рисунке 4.10). Расположение зоны захвата является геометрическим параметром задачи.

 

Регулярное движение

Для расчета линий тока в асимметричном вихре необходимо рассчитать уравнение непрерывности. Непрерывность линий тока описывается уравнением

,

которое сводится в двумерном случае к уравнению Лапласа для потенциала скорости φ(x,y,):

,                                     (4.21)

а компоненты скорости имеют вид:

                                     (4.22)

Кроме того, необходимо задать ненулевой ротор

,                          (4.23)

чтобы описать вихревое движение. Для того чтобы совместить уравнения (4.21) и (4.23), область вихря разбивается на две части и задача на регулярное движение решается в два этапа: для верхней половины вихря I и для нижней половины II (рисунок 4.10). По отдельности движение в этих областях будет потенциальным и описывается уравнением Лапласа (4.21) с заданными граничными условиями на границах разделения этих областей А и В на перепад функции φ(x,y,):

                                   (4.24)

Сшивка решений на границах А и В происходит с помощью подбора граничного условия (4.24) из условия непрерывности скорости (4.22). Граничные условия на функцию φ на остальных границах накладываются таким образом, что регулярное движение частиц (4.22) не выносит частицы из зоны вихря.

 

Тепловое движение

Тепловое движение описывается моделью стохастического рассеяния при столкновениях частиц на случайный угол α=random(0,2π):

.                                (4.25)

Частота столкновений и амплитуда теплового движения (температура) являются параметрами задачи. Полная скорость представляется в виде:

.                              (4.26)

Конвективный член в (4.18) зануляется, т.к. средние по времени значения =0, и остается лишь диффузионный член. При этом расчетное время должно в несколько раз превышать время оборота частицы в вихревом движении.