Сложение колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль одной прямой

22 23 24 25 26 27 28

Пусть точка одновременно участвует в двух колебаниях одинаковой частоты:

тогда результирующее смещение точки из положения равновесия тоже будет гармоническим колебанием с той же частотой:

Рис.4.8

Найдём амплитуду и начальную фазу этого колебания по методу векторных диаграмм (рис. 4.8).

;

; ;

;

; (4.19)

где ;

. (4.20)

При сложении не двух, а большего числа колебаний одинаковой частоты

где ; .

Частные случаи: 1) если сдвиг фаз колебаний , где n – целое число (колебания происходят в одной фазе), то , и колебания усиливают друг друга: (см.4.20);

2) если , то , - колебания происходят в противофазе и ослабляют друг друга; а в случае получим .

B. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты

Складываем два колебания одинаковой частоты, происходящие вдоль осей OX и OY:

Тогда

;

после возведения в квадрат и преобразований:

;

. (4.21)

В общем случае уравнение (4.21) – это уравнение эллипса (рис.4.9).

Рис.4.9

Частные случаи: 1)

;

получим уравнение прямой (точнее, это будет отрезок прямой, поскольку колебания ограничены амплитудой) (рис.4.10а):

2) ; - прямая (отрезок) на рис.4.10б.

3) ; . Потребуем ещё, чтобы , тогда из (4.21):

Рис.4.10

Это – уравнение окружности (рис.4.10в).

С. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний кратных частот. Фигуры Лиссажу

Складываются колебания:

Решение задачи в общем случае очень сложное, поэтому ограничимся примерами. Если частоты относятся как небольшие целые числа:

, (4.22)

то фигура замкнута; условие замкнутости: .

В методе фигур Лиссажу соотношение (4.22) по форме фигуры позволит найти незвестную частоту, если вторая частота известна. Здесь и – число точек пересечения фогуры с осями OX и OY (или прямыми, параллельными этим осям) – см. рис.4.11.