Элементы сфероидической трапеции, изометрическая с-ма координат

Рассмотрим на поверхности эллипсоида вращения выпуклую трапецию ABCD, ограниченную двумя бесконечно близкими меридианами и параллелями с разностями широт и долгот соответственно.

С точностью до бесконечно малых величин более высокого порядкапримем эту трапецию за плоский бесконечно малый прямоугольник.

Элементами этой трапеции являются:

бесконечно малый отрезок меридиана ds 1 = Md φ, (1.2)

бесконечно малый отрезок параллели ds 2 = rd λ, (1.3)

линейный элемент эллипсоида

(1.4)

азимут линейного элемента

(1.5)

площадь бесконечно малой трапеции dF = ds 1 ds 2 = Md φ rd λ, (1.6)

где r = N cosφ– радиус кривизны параллели с широтой φ.

Учитывая формулу (1.6), длина дуги параллели равна sпар. = r λ.

Из этих формул видно, что при равенстве дифференциалов d ϕ = d λ малые дуги ds 1 и ds 2 не равны, так как M ≠ r. Это обстоятельство в ряде случаев,особенно при получении равноугольных проекций, не совсем удобно.

Рассмотрим систему координат, называемую изометрической, в которой при равенстве дифференциалов аргументов равны между собой соответствующие бесконечно малые дуги меридианов и параллелей.

Запишем формулу квадрата линейного элемента (1.4) в виде

111111111111

Введем обозначения

, (1.7) 2222222222

тогда формула примет вид

. (1.8)

Теперь, при равенстве дифференциалов dq = d λдлины бесконечномалых отрезков меридиана и параллели будут равны.

Здесь q, λ – изометрические координаты. При этом λ – одновременноизометрическая и географическая долгота. Изометрическую широту q можно найти, проинтегрировав выражение (1.7)

. (1.9)

Учитывая значение M и r, получим

Умножим в числителе e 2 на тригонометрическую единицу и составимдва интеграла

. (1.10)

Введем обозначения sinψ= e sinψ, cosψ d ψ= e cosφ d φ. Тогда

,333333333333

где С – постоянная интегрирования, равная нулю при условии, что на экваторе при φ= 0 изометрическая широта q = 0.

Учитывая стоящие в этом выражении табличные интегралы, получим q = ln U;

, (1.11)

В случае отображения поверхности сфероида (шара) формула изометрической широты принимает вид q ш = lntg (45°+φш/2). (1.12)