Картографическая проекция, картографическая сетка и условия её определения

Картографируемые поверхности (Земля, Луна, планеты и их спутники), как правило, имеют сложную форму, и чтобы отобразить их на плоскости, необходимо от физической поверхности перейти к математической, которая может быть описана уравнениями.

Картографируемые поверхности принимают за сфероид или (для Земли) за эллипсоид вращения, малая полуось которого совпадает с осью вращения Земли. Эти фигуры нельзя отобразить на плоскости без складок илиразрывов, поэтому при создании карт прибегают к картографическим проекциям.

Картографической проекцией называется математически выраженный способ отображения поверхности Земли или других небесных тел, принимаемых за эллипсоид, сфероид на плоскости. Или же можно сказать, что картографической проекцией называется способ установления взаимно однозначного соответствия точек отображаемой поверхности и плоскости.В основу такого отображения положены системы географических илигеодезических координат, координатными линиями которых являются меридианы и параллели.

Общие уравнения картографических проекций имеют вид

x = f 1 (φ, λ); y = f 2 (φ, λ), (1.13)

где φи λ – географические координаты некоторой точки на картографируемой поверхности; х и у – прямоугольные координаты изображения этойточки на плоскости в проекции, определяемой функциями f 1 и f 2 при условии, что эти функции однозначны и непрерывны (вместе со всеми частнымипроизводными).

Исключив из формулы (1.1) широту, получим уравнение меридиановв проекции

F 1 (x, y, λ) = 0, (1.14)

а исключив долготу – уравнение параллелей F 2 (x, y, φ) = 0. (1.15)

Изображение меридианов и параллелей в проекции называется картографической сеткой.

Картографическая сетка будет иметь наиболее простой вид, если проекция описывается уравнениями x = f 1 (φ); y = f 2 (λ). В этом случае меридианы и параллели изображаются двумя семействами взаимно перпендикулярных прямых.

Если x = f 1 (φ); y = f 2 (φ, λ), то параллели изобразятся прямыми линиями, параллельными оси Y, а меридианы – кривыми.

Если x = f 1 (φ, λ); y = f 2 (λ), то меридианы будут прямыми, параллельными оси Х, а параллели – кривыми.

Если x = f 1 (φ, λ); y = f 2 (φ, λ), то можно получить проекции с разнообразными картографическим сетками, вид которых зависит ототображающих функций f 1 и f 2.

Географический полюс на картах может изображаться точкой, отрезком прямой или кривой линией.

Картографическая сетка используется для определения координатточек, нанесения точек на карты по их координатам, определения взаимного размещения территорий, решения картометрических и других задачна картах.

Растяжение или сжатие отдельных частей изображения картографируемой поверхности в той или иной картографической проекции неизбежносопровождаются искажениями длин, площадей и углов, причем эти искажения зависят от свойств проекции. В одних проекциях можно избежать искажений площадей, в других – искажений углов, но длины линий будут искажаться во всех проекциях (искажения длин отсутствуют только в отдельныхточках или на некоторых линиях карты).

 

Элементы изображения бесконечно малой сфероидической трапеции. Изображение линейного элемента на плоскости.

Бесконечно малая сфероидическая трапеция ABCD эллипсоида отображается на плоскость бесконечно малой трапецией A ′ B ′ C ′ D ′, которую сточностью до членов более высоких порядков малости можно принять забесконечно малый параллелограмм, а ее линейный элемент d σ= A ′ C ′ – забесконечно малый отрезок прямой.

Элементами этого изображения являются: бесконечно малые отрезкиизображения меридиана d σ1 = A ′ B ′ и параллели d σ2 = A ′ D ′, которые образуют с осью абсцисс X соответственно углы γ и γ′; линейный элемент d σ, составляющий с осью X угол ψ; азимут линейного элемента β; углы i в точкахпроекции между изображениями меридианов и параллелей и площадь бесконечно малой сфероидической трапеции dF.

Рисунок

Линейный элемент

Линейный элемент на плоскости представим формулой

. (1.16)11111111111

Полные дифференциалы dx и dy можно представить в виде

dx = x φ d φ + x λ d λ,

dy = y φ d φ + y λ d λ, (1.17)

где x ϕ, x λ, y φ, y λ– обыкновенные или частные производные.

Подставив эти дифференциалы в выражение (1.16), и сгруппировавчлены при одинаковых дифференциалах, получим

, (1.18)22222222222

где e, f, g – коэффициенты Гаусса

 (1.19)

По направлениям меридианов λ = const, d λ= 0 и параллелейφ= const, d φ = 0, следовательно, с учетом (1.18),

(1.20)3333333333333

8.Углы между изображениями меридианов и параллелей в проекции.

Можно записать

(1.21)По направлению меридиана d λ= 0, угол ψ = γ, и из (1.21) получаемформулу сближения меридианов:

(1.22)Соответственно по направлению параллелей d φ= 0, ψ = γ′ и

. (1.23)Из рисунка видно, что i = γ′–γ. Отсюда

tg i = tg (γ′ – γ) = Подставив в это выражение значения (1.22) и (1.23), найдем . (1.24)Обозначим числитель h = x φ y λ – x λ y φ, (1.25)

тогда формула (1.24) примет вид . (1.26)Определим значения соs i и sin i. Для этого вначале составим функцию eg – f 2. Используя коэффициенты Гаусса (1.19), получим:

или При этом из двух знаков перед корнем берем знак плюс, так как в математической картографии всегда используется только положительное значение h. Теперь, если записать

и подставить в это выражение значения формул (1.26) и (1.27), то в результате найдем искомые функции

; (1.28) . (1.29)В этих функциях угол i считается северо-восточным в том же направлении, как идет счет азимутов. Его четверть определяется знаком при величине f.

Если f >0, то i <90° т. е. угол лежит в первой четверти.

Если f <0, то i >90° – угол лежит во второй четверти.

При f = 0, угол i = 90° – меридианы и параллели изображаются ортогональными линиями.

Таким образом, выражение f = x φ x λ + y φ y λ = 0 (1.30)

является условием ортогональности картографической сетки на проекции.

Поскольку сетка часто изображается не ортогонально, то нередко возникает вопрос о величине отклонения угла i от прямого.

Обозначим ε= i – 90°, тогда из формулы (1.26)

.