Вывод формулы частного масштаба длин, частного масштаба площадей

В теории картографических проекций рассматриваются понятия иформулы линейных масштабов и масштабов площадей. Линейные масштабы подразделяются на главный (общий) и частные масштабы длин.

Главный масштаб длин (μ0) показывает степень общего уменьшениялинейных размеров всей картографируемой поверхности (или ее части) доотображения ее на плоскости.Этот масштаб подписывается на карте, но сохраняется в отдельных

точках или на некоторых линиях карты. Изменение главного масштаба μ0 не

влияет на свойства используемой проекции, и поэтому при исследованиикартографических проекций его принимают за единицу.

Частным масштабом длин (μ) отображения в данной точке по данному направлению называется отношение бесконечно малого отрезка напроекции к соответствующему бесконечно малому отрезку отображаемойповерхности

, (1.37)

но

. (1.38)

Учитывая значения квадратов линейных элементов, запишем

, (1.39)111111111111

после введения вспомогательной функции (путем деления числителя и знаменателя на ), получим

. (1.40)

Найдем значение и из элементарного сферического треугольника

(1.41)

и, подставив в предыдущую формулу, получим

22222222222222

Так как , то формула частного масштаба длинпримет вид

. (1.42)

Эта формула представляет значения частных масштабов длин по любому направлению.

Из выражения (1.42) следует, что частные масштабы длин зависят отположения точек на проекции (значений М, r, коэффициентов Гаусса (e, g, f)и от азимутов α.

По направлению меридианов α = 0. Из формулы (1.42) найдем формулу частных масштабов длин вдоль меридианов.

(1.43)

По направлению параллелей α = 90°. Из формулы (1.42) аналогичнополучим формулу частных масштабов длин вдоль параллелей.

(1.44)

Подставив выражения (1.43), (1.44) в выражение (1.42), найдем

. (1.45)

Полученные формулы показывают, что значения частных масштабов длин зависят как от координат точек проекции, так и от азимутов направлений.

Частным масштабом площадей (p) в данной точке называется отношение бесконечно малого (элементарного) участка (dF ′) на проекции ксоответствующему участку (dF) отображаемой поверхности (эллипсоида,сферы)

. (1.46)

Подставим в формулу (1.46) значения из формул (1.9) и (1.36), тогдаформула частного масштаба площадей примет вид

. (1.47)

Эллипс искажений.

В картографических проекциях могут присутствовать следующие виды искажений:

– искажения длин. Вследствие этого масштаб карты непостоянен вразных точках и по разным направлениям, а длины линий и расстояния искажены;

– искажения площадей. Масштаб площадей в разных точках различен, чтоявляется прямым следствием искажений длин и нарушает размеры объектов;

– искажения углов. Углы между направлениями на плоскости искажены относительно тех же углов на местности;

– искажения форм. Фигуры на карте деформированы и не подобныфигурам на местности, что прямо связано с искажением углов.

Пусть на эллипсоиде взята бесконечно малая трапеция ABCD, которую с достаточной точностью принимаем за плоский бесконечно малыйпрямоугольник (рис. 1).

Изображение этой трапеции A ′ B ′ C ′ D ′ на плоскости с той же точностью примем за бесконечно малый параллелограмм (рис. 2).

Установим в каждой точке на поверхности эллипсоида, например, вточке А системы координат xAy и ξ А η, и в соответствующих точках плоскости – системы х'А'у' и ξ′ А ′η′, в которых оси направлены вдоль меридианов, параллелей и по главным направлениям.

Проведем вокруг точки А на поверхности эллипсоида (сферы)окружность радиусом R = АС

. (1.48)

Учитывая значения частных масштабов длин вдоль меридианов

и параллелей

выражение (1.48) на плоскости примет вид

. (1.49)

Отсюда следует, что бесконечно малая окружность на поверхностиэллипсоида (сферы) изображается на плоскости бесконечно малым эллипсом. При этом два взаимно перпендикулярных диаметра круга изображаются сопряженными диаметрами эллипса, образующими угол i.

Так как эллипс имеет только одну пару сопряженных взаимно перпендикулярных диаметров, то в каждой точке поверхности эллипсоида имеется только два взаимно перпендикулярных направления, являющиеся главными направлениями – осями эллипса,вдоль которых частные масштабы длин экстремальны.Обозначим их a и b.

Введение этого понятия позволяет дать геометрическую интерпретацию искажений проекции.

Для наглядности удобнее использовать не бесконечно малые, а конечные величины. Эллипс конечных размеров, соответствующий бесконечномалому эллипсу, называют эллипсом искажений или индикатрисой (указательницей) Тиссо, им же и разработана общая теория искажений.

Размеры и форма эллипса отражают искажения длин, площадей и углов, а ориентировка большой оси относительно меридиана и параллели –направление наибольшего растяжения. Величины полуосей этого эллипсачисленно соответствуют экстремальным масштабам, а величина сопряженных полудиаметров – масштабам по меридианам и параллелям.

Эллипс искажений обращается в круг, когда a = b.

Связь экстремальных масштабов с масштабами по меридианам и параллелям можно найти, применяя к эллипсу положения Апполония:

– сумма квадратов сопряженных полудиаметров эллипса есть величина постоянная, равная сумме квадратов его полуосей

– площадь параллелограмма, построенного на сопряженных полудиаметрах эллипса – величина постоянная, равная площади прямоугольника,построенного на его полуосях, т. е.

mn sin i = ab. (1.50)

Решим приведенные уравнения совместно (предварительно умноживобе части последнего уравнения на два)