Наибольшее искажение углов

Понятие об эллипсе искажений позволяет установить связь углов u и v на поверхности эллипсоида и на плоскости, измеренных от главныхнаправлений, и получить формулу для получения наибольших искаженийуглов, под которыми понимается наибольшая разность этих углов в точках проекции

Δ u = u − v. (1.52)

Из рисунков 1 и 2 имеем

. (1.53)

Учитывая значения экстремальных частных масштабов длин a и b вдоль главных направлений, получаем

ξ ′ = a ξ; η ′ = b η.

Отсюда связь углов, измеренных от главных направлений, определяется формулой

. (1.54)

Отметим, что от этих углов можно перейти к азимутам направленийлинейных элементов, используя следующие формулы

α = u + α0; β = v + β0,

где α0, β0 – азимуты главных направлений на поверхности эллипсоида и напроекции, связь которых по аналогии с (1.53) можно представить в виде

. (1.55)

Для вычисления наибольших искажений углов, написав тождествоtg u = tg u,вычтем, а затем прибавим к правой и левой части его правую и левую частиуравнения (1.54). Соответственно получаем

Разделим верхнее уравнение на нижнее, одновременно заменив разность и сумму тангенсов их значениями из формулы

Тогда

.

Обозначим по В.В. Витковскому наибольшие искажения углов

и, учитывая, что наибольшие их величины будут при u 0 + v 0.= 90°,

получим

. (1.56)

Исходя из сделанных обозначений, можно записать значения углов,при которых достигаются указанные наибольшие их значения

(1.57)

Используя (1.55) и (1.57), можно найти

(1.58)

Значения m, n, a, b и p измеряют в процентах или долях главногомасштаба. Например, если а = 1,18, то это означает, что частный масштабпо направлению большой оси эллипса искажений 1,18 (или 118 %) от главного масштаба. Иногда в качестве показателей искажений используют величины их отклонений от единицы: т – 1; п – 1 и т. п. – эти показатели называют относительными искажениями.

В ряде проекций существуют линии и точки, где искажения отсутствуют и сохраняется главный масштаб карты, – это линии и точки нулевых

Искажений.

Линии равных искажений длин, площадей, углов или форм называются изоколами.