Равноугольные нормальные цилиндрические проекции

При получении равноугольных нормальных цилиндрических проекций должны выполняться условия равноугольности отображения эллипсоида на плоскости

m = n.

Подставив значения масштабов, получим

Тогда откуда Известно, что

тогда (2.24)

где С – постоянная интегрирования, mod = 0,4342943.

Если ось Y совмещена с экватором, то С = 0 и

где

Для поверхности шара

(2.25)

Общие формулы нормальных равноугольных цилиндрических проекций

(2.26)

Равноугольные нормальные цилиндрические проекции известны подназванием проекций Меркатора; они отличаются друг от друга параметромβ, который влияет на величину абсцисс и распределение искажений.

В проекции могут быть две главные параллели с широтами ± φk, тогдаβ = rk, или одна главная параллель, тогда β = a (большая полуось эллипсоида) или β = R (радиус шара).

Локсодромией называется линия, пересекающая все меридианы под постоянным углом. Вравноугольных цилиндрических проекциях локсодромии изображаютсяпрямыми линиями.

Докажем это положение.

Для любой точки проекции можно записать

где в данном случае tgα = const.

Интегрирование этого выражения дает

Для поверхности шара вместо U подставим tg(45 + φ/ 2) и, принявточку А за начальную (φА = 0, λА = 0), получим уравнение локсодромии насфере

отсюда Следовательно, локсодромия – спиралевидная кривая с асимптотической точкой в полюсе.

Проекция Меркатора.

Общие формулы нормальных равноугольных цилиндрических проекций

Равноугольные нормальные цилиндрические проекции известны подназванием проекций Меркатора; они отличаются друг от друга параметромβ, который влияет на величину абсцисс и распределение искажений.В проекции могут быть две главные параллели с широтами ± φk, тогдаβ = rk, или одна главная параллель, тогда β = a (большая полуось эллипсоида) или β = R (радиус шара).

Максимальный масштаб длин будет на экваторе, поэтому расстояниямежду параллелями с увеличением широты возрастает.Равноугольные цилиндрические проекции применяют для морскихкарт, так как они обладают свойством локсодромичности. Локсодромией называется линия, пересекающая все меридианы под постоянным углом. Вравноугольных цилиндрических проекциях локсодромии изображаютсяпрямыми линиями.

Докажем это положение.Для любой точки проекции можно записать

где в данном случае tgα = const. Интегрирование этого выражения дает

Для поверхности шара вместо U подставим tg(45 + φ/ 2) и, принявточку А за начальную (φА = 0, λА = 0), получим уравнение локсодромии насфере

отсюда где е – основание натурального логарифма.Следовательно, локсодромия – спиралевидная кривая с асимптотической точкой в полюсе.В равноугольной цилиндрической проекции

т. е. получаем уравнение прямой. Локсодромия не является кратчайшимрасстоянием между двумя точками.

В морской навигации измерения расстояний ведутся в морских милях(1 миля – 1852 м). Абсциссы х в проекции Меркатора называют меридианными частями и обозначают через D ′ (в мин.)

(2.27)

Наиболее простой равноугольной цилиндрической проекцией (собственно проекцией Меркатора) является проекция сферы с одной главной параллелью.

Формулы этой проекции