Тест серий (критерий Бреуша-Годфри)

Тест основан на следующей идее: если имеется корреляция между соседними наблюдениями, то естественно ожидать, что в уравнении

                               (*)

где e_i – остатки регрессии, получаемые обычным МНК, коэффициент r окажется значимо отличающимся от нуля.

Практическое применение теста заключается в оценивании МНК регрессии (*), где временной ряд e_{i -1} представляет ряд e_i со сдвигом по времени на единицу.

Преимущество теста Б-Г по сравнению с тестом Д-У заключается в том, что он проверяет с помощью статистического критерия, между тем как тест Д-У содержит зону неопределенности для значений d – статистики. Другим преимуществом теста является возможность обобщения: в число регрессоров могут быть включены не только остатки с лагом 1, но и с лагом 2, 3 и так далее, что позволяет выявить корреляцию не только между соседними, но и между более отдаленными наблюдениями.

Тесты на гетероскедастичность: Голдфелда-Квандта, тест Уайта.

Явление гетероскедастичности возникает, как правило, при анализе неоднородных объектов. Например, при построении зависимости прибыли фирмы от размера основного фонда (или каких-либо других факторов) гетероскедастичность вызвана тем, что у больших фирм колебания прибыли будут выше, чем у малых.

МНК при наличии гетероскеда­стичности позволяет получить несмещенные оценки параметров модели, но оценка дисперсии ошибки, и, следовательно, границы доверительных интервалов оценок параметров модели и прогноза зависимой переменной будут неверными, т.к. они вычисляются на основании предположения гомоскедастичности ошибок.

Для проверки на гетероскедастичность существует большое число тестов. Мы остановимся на тсте Голдфельда-Квандта.

Тест Голдфелъда-Квандта применяется в том случае, ко­гда имеются предположения:

1. о прямой зависимости дисперсии σ_t, ошибки регрессии ε_t от величины некоторой независимой переменной X в наблюдении t;

2. случайный член ε_t, распределен нормально и не подвержен автокорреляции.

Алгоритм теста:

1. Упорядочивание n данных в выборке по величине независимой переменной, относительно которой есть подозрение на гетероскедастичность.

2. Исключение с средних наблюдений в этом упорядочении в целях построения двух независимых "частных" регрессий по данным n' = (n-с)/2 в начале выборки и по данным n' = (n - с)/2 в конце выборки

3. Проведение двух независимых "частных" регрессий - первых n' и последних n' наблюдений и построение соответствующих остатков е₁ и е₂;

4. Вычисление сумм квадратов остатков "частных" регрессий: е₁'е₁, е₂'е₂. Если предположение относительно природы гегероскедастичности верно, то дисперсии ошибок регрессии в последних n' наблюдениях будут больше (меньше), чем в первых n' наблюдениях при прямой (обратной) пропорциональной зависимости между σ_t и X_t и это скажется на сумме квадратов остатков в рассматриваемых частных регрессиях. Поэтому в качестве теста на выявление гетероскедастичности остатков регрессии предлагается использовать статистику F, вид кото­рой определяется предположением зависимости между диспер­сией ошибок регрессии σ_t и регрессором X_t:

     F = е₁'е₁ / е₂'е₂- в случае обратной пропорциональности

     F = е₂'е₂ / е₁'е₁- в случае прямой пропорциональности.

Статистика F имеет распределение Фишера с (n'- k- 1) степенями свободы, где k- число объясняющих переменных в регрессионном уравнении. Если значение статистики превышает критически значение при определенном уровне значимости, то нулевая гипотеза Н₀ об отсутствии гетероскедастичности отвергается.

Тест ранговой корреляции Голдфелда-Квандта позволяют обнаружить лишь само наличие гетероскедастичности, но они не дают возможности проследить количественный характер зависимости дисперсий ошибок регрессии от значений регрессоров и, следовательно, не представляют каких-либо способов устранения гетероскедастичности.

При использовании этого теста предполагается, что дисперсии ошибок регрессии представляют собой одну и ту же функцию от наблюдаемых значений регрессоров, т.е.

s² = f_i (x_i),                                                     (1)

Чаще всего функция f выбирается квадратичной, что соответствует тому, что средняя квадратичная ошибка регрессии зависит от наблюдаемых значений регрессоров приближенно линейно. Гомоскедастичной выборке соответствует случай f = const.

Идея теста Уайта заключается в оценке функции (1) с помощью соответствующего уравнения регрессии для квадратов остатков:

, где u_i – случайный член.     (2)

Гипотеза H₀ об отсутствии гетероскедастичности (условие f = const) принимается в случае не значимости регрессии (2) в целом.

a) Итак, сначала к исходной модели применяется обычный МНК;

b) Находятся остатки e_i,  регрессии;

c) Осуществляется регрессия квадратов этих остатков e_i на все регрессоры x вида (2);

d) Осуществляется регрессия квадратов этих остатков e_i на квадраты регрессоров x ²;

e) Осуществляется регрессия квадратов этих остатков e_i на попарные произведения регрессоров;

Для пунктов c) – e) считается F – статистика, если где p – количество регрессоров, то гипотеза H₀ об отсутствии гетероскедастичности отклоняется.

Заметим, что на практике применение теста Уайта с включением и не включением попарных произведений дают, как правило, один и тот же результат.

Привлекательной чертой теста является его универсальность. Однако, если гипотеза H₀ об отсутствии гетероскедастичности отклоняется, этот тест не дает указания на функциональную форму гетероскедастичности.