Решение уравнений однородной линии для

Установившегося режима синусоидальных колебаний

Рассмотрим стационарный режим для случая, когда ЭДС имеет синусоидальный характер. Если ЭДС изменяется с угловой частотой ω, то напряжение и ток в каждой точке линии буду изменяться синусоидально с той же частотой.

     

Воспользуемся символическим методом и перейдем к комплексам действующих значений:

(28.3)

Комплексы  и  являются функциями только расстояния х и не зависят от t. Множитель является функцией времени и не зависит от х.

Представление изображений тока и напряжения в виде произведения двух множителей, из которых один является функцией только расстояния, а другой функцией только времени, дает возможность перейти от уравнений в частных производных к уравнениям в простых производных:

(28.4)

Подставив полученные выражения в уравнения (28.1) и (28.2) и, сокращая на , получаем

(28.5)

Дифференцируя первое уравнение по х и, подставляя в него  из второго, находим

Обозначим Z ₀ Y ₀ = . Тогда

.

(28.6)

Выражение (28.6) представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его характеристическое уравнение имеет вид:  откуда корни , а решение имеет вид:

где А ₁ и А ₂ - постоянные интегрирования.

Комплексный ток

.

В результате имеем

(28.7)

Эти уравнения выражают комплексы тока и напряжения в функции расстояния х.

 

 

 

Вопросы для самоконтроля

 

1. Какие электрические цепи называют цепями с распределенными параметрами?

2. В чем заключается основное отличие цепей с распределенными параметрами от цепей с сосредоточенными параметрами?

3.  Начертите цепочечную схему замещения длинной линии электропередачи и объясните, чем определяются ее продольные и поперечные сопротивления?

4. Какая линия называется однородной?

5. Запишите дифференциальные уравнения линии с распределенными параметрами.

6. Почему дифференциальные уравнения линии с распределенными параметрами записываются в частных производных?

7. Запишите уравнения линии с распределенными параметрами в установившемся режиме синусоидального напряжения.

8. Решите систему уравнений линии в комплексной форме относительно напряжения и тока в линии.