Определённый интеграл и его вычисление

Непосредственноевычисление определенного интеграла производится по формуле Ньютона—Лейбница:

где а - нижний предел, b  верхний предел.

Из этой формулы виден порядок вычисления определенного интеграла: 1) находят одну из первообразных данной функции: 2) находят значения  при 3) вычисляют разность

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение. Воспользуемся определением степени с дробным и отрицательным показателем и вычислим определенный интеграл

Приведем основные свойства определенного интеграла.

2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

 

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от всех слагаемых:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение. 1) Произведем подстановку x³+2=t; тогда ,

2) Определим пределы интегрирования для переменной t. При x=1 получаем

3) Выразив подынтегральное выражение через tи dt и перейдя к новым пределам, получим:

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение. 1) Положимcosx=t; тогда ─ sinxdx=dtиsinxdx= ─dt.

2) Определим пределы интегрирования для переменной t; t_H=cos0=1; t_B=cos()=0

3) Выразив подынтегральное выражение через t и dt и перейдя к новым пределам, получим

Пример 4. Вычислить интеграл

Решение. Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

Затем вычислим интеграл от разности функций, заменив его разностью определенных интегралов от каждой функции:

Вычислим каждый интеграл отдельно:

 

Тогда

Приложения определенного интеграла к решению задач.

Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции аАВb (рис. 46), ограниченной графиком непрерывной функции ,y=f(x),где x отрезком [а,b] оси Ох, отрез­ками прямых х = а и х =b, вычисляется по формуле

Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = х³, прямыми х = — 1, х = 2 и осью абсцисс (рис. 47).

Решение. Применяя формулу (1), получаем

Площадь фигуры ABCD (рис. 48), ограниченной графиками непрерывных функций , отрезками прямых х = а и х = b, вычисляется по формуле

Пример 6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью Ох и линией (рис. 49).

Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пере­сечения графиков функций . Для этого решим систему

Теперь найдем искомую площадь:

Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х² и у² = х (рис. 50).

Решение. Найдем пределы интегрирования, т. е. абсциссы точек пере­сечения графиков функций у = х² и у² = х. Для этого решим систему

Искомую площадь вычисляем по формуле (2) при

Путь, пройденный точкой. Если точка движется прямолинейно нее скоростьv=f(t) есть известная функция времени t, то путь, пройден­ный точкой за промежуток времени [t₁,t₂], вычисляется по формуле

Пример 10. Тело движется прямолинейно со скоростью v=0,1 t³м/с.

Вычислить путь, пройденный телом за первые 10 с.

Работа силы. Если переменная сила F= F(х) действует к направле­нии оси Ох, то работа силы на отрезке [а, b ]вычисляется по формуле

Пример 11. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину на 0,06м, если сила 1 Hрастягивает её на 0,01 м?

Решение. Согласно закону Гука сила F, растягивающая или сжимающая пружину на х м, равна F=kx, где k–коэффициент пропорциональности.

Из условия следует  и, следовательно, F=100 x,

Искомую работу находим по формуле (6);

Пример 12. Сила 196,2 Н растягивает пружину на 18 см. Какую работу она производит?

Решение. По закону Гука F=kx, откуда k = F/x = 196,2/0,18 = 1090. Значит, F= 1090х. Находим искомую работу