Метод простой итерации

Рассматриваемый метод реализует третий подход из представленных в концепции. Предварительно исходное уравнение f(x) = 0 преобразуют к виду φ(х)=x, что является частным случаем более общей структуры g(х) =f(х). Затем выбирают начальное значение х₀ и подставляют его в левую часть уравнения, но φ(х₀) ≠ х₀, поскольку х₀ взято произвольно и не является корнем уравнения. Полученное φ(х₀) =х₁ рассматривают как очередное приближение к корню. Его снова подставляют в левую часть уравнения φ(х₁) и получают следующее значение х₂ (х₂ =φ(х₁)) и т.д., в общем случае x_i₊₁=φ(x_i) Получающаяся таким образом

Последовательность при определенных условиях может сходиться к корню х* (рис. 10).

Таким условием является причем чем ближе модуль к нулю, тем выше окажется скорость сходимости к решению. В противном случае последовательность расходится от искомого решения (“метод не сходится”).

На рис. 11 приведен один из возможных случаев, когда итерационный процесс не сходится. Видно, что последовательность х₀, х₁, х₂…, удаляется от корня x*. Это всегда будет иметь место в том случае, если тангенс угла наклона φ(x) в окрестности корня по модулю больше единицы.

Существуют различные способы преобразования уравнения

f(х) = 0 к виду φ(х) =х; одни могут привести к выполнению условия сходимости всегда, другие — в отдельных случаях. Самый простой способ следующий:

но он не всегда приводит к успеху. Существует другой способ, в соответствии с которым φ(х)=х -f(х)/ к, причем & следует выбирать так, чтобы | к|>Q/2, где и знак к совпадал бы со знаком f '(x) на [a, b].

Погрешность решения можно оценить из соотношения

Вследствие этого для окончания вычислений в методе итераций применяют соотношение— заданная погрешность решения.

Часто используют упрощенное условие окончания поиска

не вычисляя максимальное значение производной, но в этом случае погрешность решения может не соответствовать заданной (т.е. быть больше или меньше).

Пример.

Имеем уравнение 2х + lg(2х +3) = 1. Необходимо уточнить корень с погрешностью ɛ < 0,001.

Запишем f(х)=2х +lg(2х +3)-1. Проведя процедуру отделения корней, получим, что корень находится в промежутке [0,0,5], т.е. а= 0, b =0,5. Приведем уравнение к виду, удобному для итераций φ(x)=x Функцию φ(x) будем искать из соотношения φ(х)=х-f(x)/к, считая для повышения сходимости, что| k| ≥ Q/2, где Q = mах | f(x)|; число k имеет тот же знак, что и f '(x) в промежутке [0, 0,5].