Степеневі ряди. Круг збіжності

Розглянемо послідовність комплексних чисел  та побудуємо ряд . Частковою сумою цього ряду називається сума .

Якщо існують скінченні границі  та , то величина  також має скінченну границю , ряд  називається збіжним, а число  – сумою цього ряду.

Ряд  називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд .

Необхідна умова збіжності. Якщо ряд  збігається, то .

Наслідок. Якщо , то ряд  розбігається.

Ознака збіжності Даламбера. Нехай . Тоді, якщо , ряд є абсолютно збіжним, а якщо , то  та ряд розбігається.

Ознака збіжності Коші. Нехай . Тоді, якщо , ряд є абсолютно збіжним, а якщо , то  та ряд розбігається.

Функціональний ряд структури  називається степеневим. Область збіжності такого ряду (тобто множину всіх значень змінної, для яких збігається відповідний числовий ряд) складають внутрішні точки кругу збіжності , та, можливо, деякі або всі точки кола , яке обмежує цей круг. У внутрішніх точках круга збіжності ряд є абсолютно збіжним, ззовні кола ряд розбігається. Радіус збіжності  обчислюється за формулами

 або .

Круг збіжності можна також можна знайти безпосередньо з умов  або , де  та .

Розвинення функцій в ряди Тейлора та Лорана.