Інтегрування комплексних функцій. Інтегральна формула Коші

Розглянемо спрямлювану криву , в кожній точці якої задано функцію . Інтегралом від функції вздовж називають

де криву поділено на малі частки , – довільна точка, яка лежить на відповідній частці кривої, а границя існує і не залежить від способу поділу кривої на частки та від способу вибору точок .

Якщо є кусочно гладкою кривою, а функція – кусочно неперервна та обмежена, то цей інтеграл завжди існує. Він зводиться до обчислення вздовж кривої криволінійних інтегралів за координатами від функцій дійсних змінних

Теорема Коші. Якщо функція аналітична у однозв’язній області , межею якої є кусочно гладкий контур , та неперервна у замкненій області , то інтеграл від цієї функції вздовж лінії дорівнює нулю:

Теорема Коші для багатозв’язної області. Розглянемо область , межа якої складається з замкненої лінії та ліній , ,… , які лежать всередині та попарно не перетинаються. Тоді, якщо функція аналітична у області та неперервна у замкненій області , то інтеграл від цієї функції вздовж повного контуру дорівнює нулю:

, тобто

Інтегральна формула Коші. Розглянемо однозв’язну область та замкнену криву , яка повністю міститься у разом з своєю внутрішністю . Якщо функція аналітична у області , то для будь-якої точки має місце рівність

Інтеграл називається інтегралом Коші.

Формула типу Коші. Якщо функція аналітична у області та неперервна у замкненій області , то у довільній внутрішній точці області функція має похідну будь-якого порядку, та